Przypomnijmy, jaki znak mają poszczególne funkcje trygonometryczne w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych:

$\alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\mathrm{tg}\alpha$	$\mathrm{ctg}\alpha$
$\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$	+	+	+	+
$\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$	+	-	-	-
$\left(\pi ,\frac{3}{2}\pi \right)$	-	-	+	+
$\left(\frac{3}{2}\pi ,2\pi \right)$	-	+	-	-

 

a)

$\cos 2x=\frac{1}{8}$  

$x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$  - rozpatrujemy pierwszą ćwiartkę, więc funkcje sinx i cosx przyjmują wartości dodatnie.

 

Skorzystajmy ze wzoru na cosinus sumy kątów:

$\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$      

 

$\cos 2x=\cos \left(x+x\right)=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$  

 

$\frac{1}{8}={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$  

 

Skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej:

$1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\mid -{\sin }^{2}x$  

$1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$    - wstawmy lewą stronę tego równania do równania powyżej:

 

$\frac{1}{8}=1-{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x\mid -1$  

 

$-\frac{7}{8}=-2{\sin }^{2}x\mid :\left(-2\right)$  

 

$\frac{7}{16}={\sin }^{2}x$    

 

$\sqrt{\frac{7}{16}}={\sin }^{2}x$     

 

$\underline{\sin x=\frac{\sqrt{7}}{4}}$    (rozpatrujemy I ćwiartkę układu, więc sinus jest dodatni)

 

      

$1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$  

 

$1-\frac{7}{16}={\cos }^{2}x$  

 

$\frac{9}{16}={\cos }^{2}x$  

 

$\underline{\cos x=\frac{3}{4}}$    (rozpatrujemy I ćwiartkę układu, więc cosinus jest dodatni)

 

 

 

---

b)