Oblicz.- Zadanie 16: Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

Rozwiązanie

$sin (\frac{π}{12})$

Skorzystajmy ze wzoru na sinus różnicy kątów:

$sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$

$sin (\frac{π}{12}) = sin (\frac{3}{12} π - \frac{2}{12} π) = sin (\frac{1}{4} π - \frac{1}{6} π) =$

$= sin (\frac{1}{4} π) cos (\frac{1}{6} π) - cos (\frac{1}{4} π) sin (\frac{1}{6} π) =$

$= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} - \frac{2}{4} = \frac{6 - 2}{4}$

$cos (\frac{5}{12} π)$

Skorzystajmy z tożsamości:

$cos (\frac{π}{2} - α) = cos α$

$cos (\frac{5}{12} π) = cos (\frac{6}{12} π - \frac{1}{12} π) = sin (\frac{π}{12})$ - wartość tej funkcji trygonometrycznej obliczyliśmy już w punkcje a)

$cos (\frac{5}{12} π) = sin (\frac{π}{12}) = \frac{6 - 2}{4}$

$sin 15^{\circ} \cdot sin 75^{\circ} = sin 15^{\circ} \cdot sin (90^{\circ} - 15^{\circ}) = sin 15^{\circ} \cdot cos 15^{\circ}$

Wiemy, że:

$sin 2 α = 2 sin α \cdot cos α$

Możemy zapisać więc:

$sin 30^{\circ} = 2 \cdot sin 15^{\circ} \cdot cos 15^{\circ}$

$\frac{1}{2} = 2 \cdot sin 15^{\circ} \cdot cos 15^{\circ} ∣ : 2$

$\frac{1}{4} = sin 15^{\circ} \cdot cos^{\circ}$

$\underline{sin 15^{\circ} \cdot sin 75^{\circ} = \frac{1}{4}}$

$sin (\frac{3}{8} π) \cdot cos (\frac{3}{8} π)$

$sin (\frac{6}{8} π) = 2 \cdot sin (\frac{3}{8} π) \cdot cos (\frac{3}{8} π)$

$sin (\frac{6}{8} π) = sin (\frac{3}{4} π) = sin (\frac{1}{2} π + \frac{1}{4} π) = cos (\frac{1}{4} π) = \frac{2}{2}$

$\frac{2}{2} = 2 \cdot sin (\frac{3}{8} π) \cdot cos (\frac{3}{8} π) ∣ : 2$

$\underline{\frac{2}{4} = sin (\frac{3}{8} π) \cdot cos (\frac{3}{8} π)}$

$sin 43^{\circ} \cdot cos 47^{\circ} + sin 47^{\circ} \cdot cos 43^{\circ}$

$sin (90^{\circ} - α) = cos α$

$cos (90^{\circ} - α) = sin α$

$sin 43^{\circ} \cdot cos 47^{\circ} + sin 47^{\circ} \cdot cos 43^{\circ} = sin (90^{\circ} - 47^{\circ}) \cdot cos 47^{\circ} + sin 47^{\circ} \cdot cos (90^{\circ} - 47^{\circ}) = cos 47^{\circ} \cdot cos 47^{\circ} + sin 47^{\circ} \cdot sin 47^{\circ} = cos^{2} 47^{\circ} + sin^{\circ} 47^{\circ} = 1$

$cos (\frac{2}{9} π) \cdot cos (\frac{π}{9}) - sin (\frac{2}{9} π) \cdot sin (\frac{π}{9})$

Skorzystajmy ze wzoru na cosinus różnicy kątów:

$cos α cos β - sin α sin β = cos (α + β)$

$cos (\frac{2}{9} π) \cdot cos (\frac{π}{9}) - sin (\frac{2}{9} π) \cdot sin (\frac{π}{9}) = cos (\frac{2}{9} π + \frac{1}{9} π) = cos (\frac{3}{9} π) = cos (\frac{1}{3} π) = \frac{1}{2}$

$\frac{3}{2} cos (\frac{π}{12}) + \frac{1}{2} sin (\frac{π}{12})$

Z podpunktu a) wiemy, że:

$sin (\frac{π}{12}) = \frac{6 - 2}{4}$

Obliczmy wartość $cos (\frac{π}{12})$ - w tym celu skorzystamy ze wzoru na cosinus różnicy kątów:

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$

$cos (\frac{π}{12}) = cos (\frac{3}{12} π - \frac{2}{12} π) = cos (\frac{1}{4} π - \frac{1}{6} π) = cos (\frac{1}{4} π) \cdot cos (\frac{1}{6} π) + sin (\frac{1}{4} π) \cdot sin (\frac{1}{6} π) =$

$= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$

$\frac{3}{2} cos (\frac{π}{12}) + \frac{1}{2} sin (\frac{π}{12}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{6 + 2}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6 - 2}{4} = \frac{18 + 6 + 6 - 2}{8} = \frac{3 2 + 2 6 - 2}{8} = \frac{2 2 + 2 6}{8} = \frac{2 + 6}{4}$

$cos (\frac{7}{12} π) + sin (\frac{7}{12} π)$

Wiemy, że:

$cos (\frac{π}{2} + α) = - sin α$

Oraz:

$sin (\frac{π}{2} + α) = cos α$

A więc:

$cos (\frac{7}{12} π) = cos (\frac{6}{12} π + \frac{1}{12} π) = - sin (\frac{π}{12}) = - \frac{6 - 2}{4} = \frac{- 6 + 2}{4}$

$sin (\frac{7}{12} π) = sin (\frac{6}{12} π + \frac{1}{12} π) = cos (\frac{π}{12}) = \frac{6 + 2}{4}$ - obie powyższe wartości obliczyliśmy w poprzednich punktach