$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$  

 

$a_n=\frac{\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}+2\right)}^n}$  

 

$a_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}+2\right)}^{n+1}}$  

 

$q=\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}+2\right)}^{n+1}}}{\frac{\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}+2\right)}^n}}=$  

 

$=\frac{\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}+2\right)}^{n+1}}\cdot \frac{{\left(\sqrt{3}+2\right)}^n}{\sqrt{3}}=$  

 

$=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=$  

 

$=\frac{1}{\sqrt{3}+2}\cdot \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}=$  

 

$=\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}=2-\sqrt{3}$       

 

 

 

$\left|q\right|<1$  

 

$\left|2-\sqrt{3}\right|<1$   - warunek jest spełniony

 

 

$S=\frac{a_1}{1-q}$   - wzór na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego      

 

$a_1=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}$  

 

$S=\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}}{1-2+\sqrt{3}}=$  

 

$=\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}}{-1+\sqrt{3}}=$  

 

$=\frac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(-1+\sqrt{3}\right)}=$  

 

$=\frac{\sqrt{3}}{-\sqrt{3}+3-2+2\sqrt{3}}=$  

 

$=\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=$  

 

$=\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=$  

 

$=\frac{\sqrt{3}-3}{1-3}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\approx 1,5-0,866025=0,633975$        

 

Musimy zakodować trzy pierwsze cyfry po przecinku, a więc:

633