Wyznaczmy równanie symetralnej cięciwy AB (jest to prosta prostopadła do prostej AB, która przechodzi przez punkt S).

$2x-y-5=0$  

$-y=-2x+5$  

$y=2x-5$  

$a_{AB}=2$   - współczynnik kierunkowy prostej AB.

 

$a_s=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$   - współczynnik kierunkowy symetralnej.

 

$y=-\frac{1}{2}x+b$   - równanie symetralnej.

Podstawmy współrzędne punktu S:

$4=-\frac{1}{2}\cdot 2+b$  

$4=-1+b$  

$b=5$  

 

$y=-\frac{1}{2}x+5$    - równanie symetralnej          

 

Wyznaczmy współrzędne środka cięciwy AB - jest to punkt przecięcia danej prostej i wyznaczonej symetralnej.

$2x+5=-\frac{1}{2}x-5$  

$\frac{5}{2}x=10\mid \cdot 2$   

$5x=20\mid :5$   

$x_P=4$  

 

$y=2x-5$  

$y_P=2\cdot 4-5=8-5=3$   

 

$P=\left(4,3\right)$        

 

Wiemy, że  $\left|AB\right|=4\sqrt{5}$  

A więc:

$\left|AP\right|=\left|BP\right|=2\sqrt{5}$  

 

Niech współrzędne punktu przecięcia się prostej z okręgiem będą równe:

$\left(x_A,2x_A-5\right)$  

 

$d=\sqrt{{\left(x_A-4\right)}^2+{\left(2x_A-5-3\right)}^2}=\sqrt{x_A^2-8x_a+16+{\left(2x_A-8\right)}^2}=\sqrt{x_a^2-8x_a+16+4x_a^2-32x_A+64}=\sqrt{5x_a^2-40x_A+80}$   

 

$\sqrt{5x_a^2-40x_A+80}=2\sqrt{5}\mid {\left(\right)}^2$   

 

$5x_a^2-40x_A+80=20$  

 

$5x_a^2-40x_A+60=0\mid :\left(5\right)$  

 

$x_a^2-8x_A+12=0$  

 

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16$  

$\sqrt{\Delta }=4$  

 

$x_1=\frac{8-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$  

 

$x_2=\frac{8+4}{2\cdot 1}=\frac{12}{2}=6$   - w ten sposób wyznaczyliśmy odcięte punktów przecięcia się okręgu z prostą .

 

 

$y_1=2\cdot 2-5=-1$  

$A=\left(2,-1\right)$  

 

$y_2=2\cdot 6-5=12-5=7$  

$B=\left(6,7\right)$         

 

 

Wyznaczmy promień okręgu - jest on równy odległości punktu S do punktów A i B:

$r=\left|SA\right|=\sqrt{{\left(2-2\right)}^2+{\left(-1-4\right)}^2}=\sqrt{25}=5$  

 

$r^2=25$  

 

 

Równanie okręgu:

$\underline{{\left(\mathbf{x}-2\right)}^2+{\left(\mathbf{y}-4\right)}^2=25}$