$P=128{\text{m}}^2$   - pole powierzchni trawnika

$x$   - długość jednego boku trawnika

$x>0$  

 

$\frac{128}{x}$   - długość drugiego boku   

 

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Wymiary całego placu (to jest trawnika wraz z chodnikiem) są równe:

$x+4\times \frac{128}{x}+2$  

 

Pole powierzchni całego placu jest więc równe:

$P_p=\left(x+4\right)\cdot \left(\frac{128}{x}+2\right)$  

 

Pole powierzchni chodnika otrzymamy odejmując pole powierzchni trawnika od pola powierzchni całości, a więc:

$P\left(x\right)=\left(x+4\right)\cdot \left(\frac{128}{x}+2\right)-128=128+2x+\frac{512}{x}+8-128=2x+\frac{512}{x}+8$  

 

Obliczmy pochodną funkcji P(x):

$P{}^{\prime }\left(x\right)=2-\frac{512}{x^2}$   

 

Szukamy minimum funkcji - a więc musimy wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.

$2-\frac{512}{x^2}=0\mid \cdot x^2$  

 

$2x^2-512=0\mid :2$   

 

$x^2-256=0$        

 

$x^2=256$  

 

$x_1=16$     

$x_2=-16$   

 

Szkic wykresu pochodnej:

 

Zauważmy, że w  $x=16$   pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni - a więc w tym miejscu funkcja przyjmuje minimum. 

 

A więc wymiary trawnika są równe:

$x=16\text{m}$   

$\frac{128}{16}=8\text{m}$