a)

Obliczmy, na ile sposobów możemy ułożyć cyfry:

$\left|\Omega \right|=10!$   

 

Zastanówmy się, w jaki sposób możemy ułożyć nasze cyfry, aby spełniały warunki z treści zadania:

$1XXX0XXXXX$   - cyfry oznaczone jako X mogą być ustawione w dowolnej kolejności - a więc w tym przypadku możemy zbudować  $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$    ciągów.

 

$X1XXX0XXXX$  

 

$XX1XXX0XXX$      

 

$XXX1XXX0XX$  

 

$XXXX1XXX0X$  

 

$XXXXX1XXX0$  

 

Zauważmy, że możemy również zamienić miejscami cyfry 0 oraz 1 - a więc łączna liczba kombinacji jest równa:

$\left|A\right|=\left(8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\right)\cdot 2\cdot 6=8!\cdot 12$    

 

Obliczmy prawdopodobieństwo, że losowo zbudowany ciąg będzie spełniał warunki z treści zadania:

$P\left(A\right)=\frac{12\cdot 8!}{10!}=\frac{12\cdot 8!}{10\cdot 9\cdot 8!}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$      

 

 

b)

Liczby 7, 8, 9 możemy ustawić obok siebie na:

$3\cdot 2\cdot 1=6\text{sposoboˊw}$  

 

Otrzymane ciągi mogą wyglądać następująco:

$\mathbf{Y}\mathbf{Y}\mathbf{Y}XXXXXXX$     - przy czym Y oznacza ciąg zbudowany z cyfr 7,8,9, a poprzez X oznaczyliśmy pozostałe cyfry. Łączna liczba ciągów, jakie możemy zbudować w ten sposób, jest równa:  $6\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=6\cdot 7!$  

 

Tak jak w poprzednim podpunkcie - nasz podciąg możemy przesuwać w prawo:

$X\mathbf{Y}\mathbf{Y}\mathbf{Y}XXXXXX$  

 

$XX\mathbf{Y}\mathbf{Y}\mathbf{Y}XXXXX$  

 

$XXX\mathbf{Y}\mathbf{Y}\mathbf{Y}XXXX$  

 

$XXXX\mathbf{Y}\mathbf{Y}\mathbf{Y}XXX$  

 

$XXXXX\mathbf{Y}\mathbf{Y}\mathbf{Y}XX$  

 

$XXXXXX\mathbf{Y}\mathbf{Y}\mathbf{Y}X$  

 

$XXXXXXX\mathbf{Y}\mathbf{Y}\mathbf{Y}$  

 

A więc łącznie możemy zbudować:

  $\left|B\right|=6\cdot 7!\cdot 8=6\cdot 8!\text{ciągoˊw}$   

 

Obliczmy prawdopodobieństwo, że w losowo zbudowanym ciągu cyfry 7, 8, 9 będą stać obok siebie:

$P\left(B\right)=\frac{6\cdot 8!}{10!}=\frac{6\cdot 8!}{8!\cdot 9\cdot 10}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$