a)

Łącznie liczby możemy wylosować na:

$\left|\Omega \right|=n\cdot \left(n-1\right)$   sposobów.

 

Jeżeli pierwszą wylosowaną liczbą będzie 2, to drugą liczbę możemy wylosować na 1 sposób.

Jeżeli pierwszą wylosowaną liczbą będzie 3, to drugą liczbę możemy wylosować na 2 sposoby.

Jeżeli pierwszą wylosowaną liczbą będzie 4, to drugą liczbę możemy wylosować na 3 sposoby.

 ...

Jeżeli pierwszą wylosowaną liczbą będzie n-1, to drugą liczbę możemy wylosować na n-2  sposobów.

Jeżeli pierwszą wylosowaną liczbą będzie n, to drugą liczbę możemy wylosować na n-1  sposobów.

 

Łącznie wszystkich możliwości jest:

$\left|A\right|=1+2+3+4+\dots +n-2+n-1$   - zauważmy, że  jest to suma ciągu arytmetycznego o n-1 wyrazach

$\left|A\right|=S_k=\frac{a_1+a_k}{2}\cdot k=\frac{1+\left(n-1\right)}{2}\cdot \left(n-1\right)=\frac{n}{2}\cdot \left(n-1\right)=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$  

 

$P\left(A\right)=\frac{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}{n\cdot \left(n-1\right)}=\frac{1}{2}$  

 

 

b)

Interesujące nas pary liczb to:

$\text{n - 2 par}\{\begin{array}{l}1-3\\ 2-4\\ 3-5\\ \dots \\ \left(n-2\right)-n\end{array}$  

 

$\text{n - 2 par}\{\begin{array}{l}n-\left(n-2\right)\\ \dots \\ 5-3\\ 4-2\\ 3-1\end{array}$      

 

 

Łącznie takich par mamy:

$2\cdot \left(n-2\right)$   

 

 

Prawdopodobieństwo, że wylosowane liczby będą się różnić o 2 jest więc równe:

$P\left(B\right)=\frac{2\left(n-2\right)}{n\cdot \left(n-1\right)}$  

 

Chcemy, aby to prawdopodobieństwo było większe niż  $\frac{1}{4}$  , a więc:  

 

$\frac{2\left(n-2\right)}{n\cdot \left(n-1\right)}>\frac{1}{4}\mid \cdot 4$  

 

$\frac{8\left(n-2\right)}{n\cdot \left(n-1\right)}>1$  

 

$\frac{8\left(n-2\right)}{n\cdot \left(n-1\right)}-1>0$  

 

$\frac{8\left(n-2\right)}{n\cdot \left(n-1\right)}-\frac{n\cdot \left(n-1\right)}{n\cdot \left(n-1\right)}>0$  

 

$\frac{8\left(n-2\right)-n\cdot \left(n-1\right)}{n\cdot \left(n-1\right)}>0$  

 

Wiemy, że  $n\ge 3$   - a więc licznik jest na pewno liczbą dodatnią - możemy więc pomnożyć obie strony nierówności przez  $n\left(n-1\right)$  :      

  $8\left(n-2\right)-n\cdot \left(n-1\right)>0$  

 

$8n-16-n^2+n>0$  

 

$-n^2+9n-16>0$  

 

$\Delta =9^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-16\right)=81-64=17$  

$\sqrt{\Delta }\approx 4$  

 

$n_1=\frac{-9-\sqrt{17}}{2\cdot \left(-1\right)}\approx \frac{-9-4}{-2}=6,5$  

 

$n_1=\frac{-9+\sqrt{17}}{2\cdot \left(-1\right)}\approx \frac{-9+4}{-2}=2,5$   

 

$n\in \left(\left(2,5;6,5\right)\right)$  

 

Wiemy, że  $n\in \mathbb{N}$  , oraz  $n\ge 3$  , a więc:

$n\in \left\{3,4,5,6\right\}$