I liceum

I technikum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201201/4bb95d96-af4f-428c-b94d-8e537c8a9cee_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - cyfra dziesiątek pewnej liczby dwucyfrowej
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201201/ed391016-d15a-4fc7-845a-936ffe433b8d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - cyfra jedności pewnej liczby dwucyfrowej
 Liczba ta zwiększyła się o 63 po przestawieniu cyfr tej liczby. Możemy więc zapisać:  
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/64b0cc0f-376b-4b44-be5f-7f69161e82a8_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/64b0cc0f-376b-4b44-be5f-7f69161e82a8_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/45cd75c9-68cd-4a42-a330-cc22542c8455_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/45cd75c9-68cd-4a42-a330-cc22542c8455_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/46d1c12c-6ee3-48bf-a66d-99f9205d5f54_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/46d1c12c-6ee3-48bf-a66d-99f9205d5f54_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/018370da-4382-4978-ae01-24928958aa85_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Cyfra dziesiątek jest o 7 mniejsza od cyfry jedności. Zauważmy też, że cyfra jedności musi być większa od 7. Może więc być równa: 8 lub 9. Szukanymi liczbami są: 18 i 29.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/0ace5c25-4355-449a-9280-b7069476f130_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - liczba monet 2-złotowych
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/3182bcc0-fe86-4623-99fb-ed114b52e321_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - liczba monet 5-złotowych
 Wiemy, że łącznie wydano 28 zł. Możemy więc zapisać:

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191021/bf429226-f72e-472a-9e1a-17e9d390e201_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - liczba pokoi 3-osobowych
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191021/06b24646-b257-4ee6-8498-f2fff075c001_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - liczba pokoi 4-osobowych
 Wiemy, że łącznie ulokowano 30 uczestników wycieczki. Możemy więc zapisać:

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191021/2f081929-0893-4e54-add3-dddeeeddf1bf_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - cyfra dziesiątek liczby <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191021/193a15a0-5c94-483d-b622-e849f22d9983_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191021/2f9165f8-25f7-46bb-979c-6deff8296d66_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - cyfra jedności liczby <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191021/193a15a0-5c94-483d-b622-e849f22d9983_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Liczba <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191021/193a15a0-5c94-483d-b622-e849f22d9983_small.svg" type="image/svg+xml"></object> zwiększyła się o dziewięciokrotnie po dopisaniu między cyfry <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191021/e7b2f02c-fdc8-43c3-a04f-7e6745ce7e2d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> liczby 2. Możemy więc zapisać:

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/ecbd5d71-65f9-4830-acd4-b0728cfbb97d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - licznik pewnego ułamka
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/16377f87-ad32-4f18-8342-70946ccc4974_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - mianownik pewnego ułamka
 Ułamek ten nie zmienia swojej wartości po zwiększeniu licznika o 2, a mianownika - o 4. Możemy więc zapisać:

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/c41a9954-43e3-4a22-8b5d-a7d3b88d758e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - liczba kartonów o pojemności 2 <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/54b00422-35c7-427a-ad17-3cb2503b06ca_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/87ce1c35-d888-4834-8ea1-d2b0060653df_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - liczba kartonów o pojemności 0,5 <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/54b00422-35c7-427a-ad17-3cb2503b06ca_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/d831546c-1543-4747-8aeb-7b675278981e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - liczba kartonów o pojemności 0,25 <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/54b00422-35c7-427a-ad17-3cb2503b06ca_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Wszystkich kartonów było 12, więc:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/4ed54339-a03e-4b05-a87c-24cb059ed27b_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Wyznaczamy jedną ze zmiennych.
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/840a5839-4232-4ceb-9084-204e4159ae9f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Łącznie w tych kartonach znajdowało się 12 litrów soku, zatem:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/5e200186-d605-4426-8f25-fa13fb1f0828_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/1d7f43ad-3bea-4c9f-949e-4ca91177dd3e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 W miejsce <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/c41a9954-43e3-4a22-8b5d-a7d3b88d758e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> wstawiamy <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/4ab1068c-70b0-43fb-9d61-1475e3ba134f_small.svg" type="image/svg+xml"></object>.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/d9ba6ab9-cd5b-4005-800d-e5f91699cbc6_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/d9ba6ab9-cd5b-4005-800d-e5f91699cbc6_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/0678fe6f-8027-4af0-9573-da330816abef_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/0678fe6f-8027-4af0-9573-da330816abef_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/b8dbccc8-806d-45ff-9c75-5225ecb73c05_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/b8dbccc8-806d-45ff-9c75-5225ecb73c05_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/f0deea4d-5b76-40a9-b77e-03d2e9c1c23f_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/f0deea4d-5b76-40a9-b77e-03d2e9c1c23f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/618fbef4-5d59-4a4f-b505-bccde3151a7f_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/618fbef4-5d59-4a4f-b505-bccde3151a7f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/8935cefd-2051-4a5a-a7e5-b29a48aea019_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Wyznaczamy <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/87ce1c35-d888-4834-8ea1-d2b0060653df_small.svg" type="image/svg+xml"></object>.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/3376543d-09ff-47db-a314-1dda3b76eccf_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/3376543d-09ff-47db-a314-1dda3b76eccf_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/cdafb47f-f405-46ff-9bad-6d6fca9f565f_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/cdafb47f-f405-46ff-9bad-6d6fca9f565f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/b4e7ee68-931f-45b4-b79f-4d5d85f5bc2d_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Liczby <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/e7089ad4-6440-4f1d-8060-f588f2bcde3b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> są liczbami naturalnymi (oznaczają liczby kartonów o odpowiednich pojemnościach). Oznacza to, że liczba znajdująca się po prawej stronie równania również jest liczbą naturalną. Liczby 7 i 6 są względnie pierwsze, więc to liczba <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/d831546c-1543-4747-8aeb-7b675278981e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> musi być podzielna przez 6. Liczbę podzielną przez 6 możemy zapisać w postaci <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/f8065ec7-5ac4-4c74-8afb-b7a8ae60e1b7_small.svg" type="image/svg+xml"></object>, gdzie <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/f318bdd1-2c6c-4e1f-a932-2a7717319816_small.svg" type="image/svg+xml"></object> jest liczbą całkowitą.
Stąd:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/a537a4fc-2a42-4125-9dde-8b7855bc645a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/14f2a0f1-83f8-4aba-80f4-b1173bc0de21_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Liczba <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/f318bdd1-2c6c-4e1f-a932-2a7717319816_small.svg" type="image/svg+xml"></object> nie może być równa 0, ponieważ w szafce znajdowały się kartony wszystkich trzech rodzajów. Z tego samego powodu liczba <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/f318bdd1-2c6c-4e1f-a932-2a7717319816_small.svg" type="image/svg+xml"></object> nie może być większa lub równa 2. Zatem:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/67bd7605-98dd-436b-948f-11f6c470d94c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Wyznaczamy liczby <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/edf8c050-177e-4802-b727-b2ddc859d7b2_small.svg" type="image/svg+xml"></object>.
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/ae45e584-5414-4669-a109-94314114e53b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/b2194448-ddbe-4b56-8c74-da47a44c9421_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/850570af-74f3-42a6-9f31-ca239551e807_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 W szafce stało: 5 kartonów 2 <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/54b00422-35c7-427a-ad17-3cb2503b06ca_small.svg" type="image/svg+xml"></object>, 1 karton 0,5 <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/54b00422-35c7-427a-ad17-3cb2503b06ca_small.svg" type="image/svg+xml"></object> i 6 kartonów 0,25 <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/54b00422-35c7-427a-ad17-3cb2503b06ca_small.svg" type="image/svg+xml"></object>.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/558d6ecf-49d4-496f-9829-76b058f1a8a7_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - cyfra dziesiątek liczby <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/1966919d-d632-460d-a4e9-d56e7c2bdd40_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/9d7ecaff-0dbb-4019-8a32-9ac19128a90c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - cyfra jedności liczby <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/1966919d-d632-460d-a4e9-d56e7c2bdd40_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Jeśli do liczby <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/1966919d-d632-460d-a4e9-d56e7c2bdd40_small.svg" type="image/svg+xml"></object> dopiszemy z lewej strony cyfrę 5, to otrzymamy liczbę o 27 mniejszą od liczby, która powstanie w wyniku dopisania cyfry z prawej strony liczby <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/1966919d-d632-460d-a4e9-d56e7c2bdd40_small.svg" type="image/svg+xml"></object>. Możemy więc zapisać:

Komentarze