$\text{a)}$  

Dowód przeprowadzimy metodą nie wprost.

Przypuśćmy, ze liczba  ${\log }_{5}13$  nie jest niewymierna. Oznacza to, że jest ona wymierna, czyli daje się zapisać w postaci ułamka zwykłego:

${\log }_{5}13=\frac{p}{q},p,q\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Zatem:

$5^{\frac{p}{q}}=13$  

${\left(5^{\frac{p}{q}}\right)}^q={13}^q$  

$5^{\frac{p}{q}\cdot q}={13}^q$  

$5^p={13}^q$  

W rozkładzie na czynniki pierwsze liczby  $5^p$  występuje tylko liczba  $5$ , a w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby  ${13}^q$  występuje tylko liczba  $13$ . Zatem liczby te nie mogą być równe.

Oznacza to, że liczba  ${\log }_5\left(13\right)$  jest niewymierna.