Wiemy, że:

$x={10}^{\frac{1}{1-\log z}}$  

$y={10}^{\frac{1}{1-\log x}}$  

Z definicji logarytmu:

$\log x=\frac{1}{1-\log z}\mid \cdot \left(1-\log z\right)$  

$\log x\cdot \left(1-\log z\right)=1$  

$\log x-\log x\cdot \log z=1\mid -\log x$  

$-\log x\cdot \log z=1-\log x\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\log x\cdot \log z=\log x-1\mid :\log x$  

$\log z=\frac{\log x-1}{\log x}$  

Wyznaczamy $z$ .

${10}^{\frac{\log x-1}{\log x}}=z$  

Sprawdzamy, czy zachodzi równość:

$z={10}^{\frac{1}{1-\log y}}$  

Mamy więc:

${10}^{\frac{\log x-1}{\log x}}={10}^{\frac{1}{1-\log y}}$  

Porównujemy wykładniki:

$\frac{\log x-1}{\log x}=\frac{1}{1-\log y}$  

Po zastosowaniu drugiej równości otrzymujemy:

$\frac{\log x-1}{\log x}=\frac{1}{1-\log {10}^{\frac{1}{1-\log x}}}$  

Upraszczamy prawą stronę równości:

$\frac{\log x-1}{\log x}=\frac{1}{1-\frac{1}{1-\log x}}$  

$\frac{\log x-1}{\log x}=\frac{1}{\frac{1-\log x}{1-\log x}-\frac{1}{1-\log x}}$  

$\frac{\log x-1}{\log x}=\frac{1}{\frac{1-\log x-1}{1-\log x}}$  

$\frac{\log x-1}{\log x}=\frac{1}{\frac{-\log x}{1-\log x}}$  

$\frac{\log x-1}{\log x}=\frac{1-\log x}{-\log x}$  

$\frac{\log x-1}{\log x}=-\frac{1-\log x}{\log x}$  

$\frac{\log x-1}{\log x}=\frac{-1+\log x}{\log x}$  

$\frac{\log x-1}{\log x}=\frac{\log x-1}{\log x}$  

Wykazaliśmy, że równość jest spełniona.