Klasa
I liceum
Przedmiot
Matematyka
Wybierz ksi─ů┼╝k─Ö
Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019, Zbiór zadań
  • 2.169

    Zadanie

  • 2.170

    Zadanie

  • 2.171

    Zadanie

  • 2.172

    Zadanie

  • 2.173

    Zadanie

  • 2.174

    Zadanie

  • 2.175

    Zadanie

  • 2.176

    Zadanie

a)

Założenie:

ÔłÜ7 - dana liczba rzeczywista

 

Teza:

ÔłÜ7 jest liczb─ů niewymiern─ů

 

Dowód (nie wprost): 

Za┼é├│┼╝my, ┼╝e liczba┬áÔłÜ7 jest liczb─ů wymiern─ů. Z definicji liczby wymiernej dodatniej istniej─ů liczby naturalne p, q, gdzie qÔëá0, dla kt├│rych:

 

 

 

 

Otrzymana r├│wno┼Ť─ç jest fa┼észywa, bo liczba naturalna 7┘áq┘áq ma w rozk┼éadzie na czynniki nieparzyst─ů liczb─Ö "si├│demek", natomiast r├│wna jej liczba p┘áp w rozk┼éadzie na czynniki pierwsze ma parzyst─ů liczb─Ö "si├│demek". Otrzymali┼Ťmy sprzeczno┼Ť─ç z twierdzeniem "ka┼╝de dwa rozk┼éady liczby naturalnej roz┼éo┼╝onej na czynniki pierwsze r├│┼╝ni─ů si─Ö co najwy┼╝ej kolejno┼Ťci─ů czynnik├│w". Prawdziwe jest wi─Öc twierdzenie "liczba┬áÔłÜ7 jest liczb─ů niewymiern─ů".



b) 

Założenie:

ÔłÜp - dana liczba rzeczywista

p - liczba pierwsza

 

Teza:

ÔłÜp jest liczb─ů niewymiern─ů

 

Dowód (nie wprost): 

Za┼é├│┼╝my, ┼╝e liczba┬áÔłÜp jest liczb─ů wymiern─ů. Z definicji liczby wymiernej dodatniej istniej─ů liczby naturalne a, b, gdzie bÔëá0, dla kt├│rych:

 

 

 

 

Liczbę p nie da się rozłożyć na czynniki pierwsze, ponieważ jest to liczba pierwsza

Otrzymana r├│wno┼Ť─ç jest fa┼észywa, bo liczba naturalna p┘áb┘áb ma w rozk┼éadzie na czynniki nieparzyst─ů liczb─Ö "p", natomiast r├│wna jej liczba a┘áa w rozk┼éadzie na czynniki pierwsze ma parzyst─ů liczb─Ö "p". Otrzymali┼Ťmy sprzeczno┼Ť─ç z twierdzeniem "ka┼╝de dwa rozk┼éady liczby naturalnej roz┼éo┼╝onej na czynniki pierwsze r├│┼╝ni─ů si─Ö co najwy┼╝ej kolejno┼Ťci─ů czynnik├│w".┬áPrawdziwe jest wi─Öc twierdzenie "liczba┬áÔłÜp jest liczb─ů niewymiern─ů".

Komentarze