🎓 Wykaż, że: a) liczba ... - Zadanie 2.169: Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019 - strona 71
Matematyka
Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019 (Zbiór zadań, OE Pazdro)

a)

Założenie:

√7 - dana liczba rzeczywista

 

Teza:

√7 jest liczbą niewymierną

 

Dowód (nie wprost): 

Załóżmy, że liczba √7 jest liczbą wymierną. Z definicji liczby wymiernej dodatniej istnieją liczby naturalne p, q, gdzie q≠0, dla których:

 

 

 

 

Otrzymana równość jest fałszywa, bo liczba naturalna 7٠q٠q ma w rozkładzie na czynniki nieparzystą liczbę "siódemek", natomiast równa jej liczba p٠p w rozkładzie na czynniki pierwsze ma parzystą liczbę "siódemek". Otrzymaliśmy sprzeczność z twierdzeniem "każde dwa rozkłady liczby naturalnej rozłożonej na czynniki pierwsze różnią się co najwyżej kolejnością czynników". Prawdziwe jest więc twierdzenie "liczba √7 jest liczbą niewymierną".



b) 

Założenie:

√p - dana liczba rzeczywista

p - liczba pierwsza

 

Teza:

√p jest liczbą niewymierną

 

Dowód (nie wprost): 

Załóżmy, że liczba √p jest liczbą wymierną. Z definicji liczby wymiernej dodatniej istnieją liczby naturalne a, b, gdzie b≠0, dla których:

 

 

 

 

Liczbę p nie da się rozłożyć na czynniki pierwsze, ponieważ jest to liczba pierwsza

Otrzymana równość jest fałszywa, bo liczba naturalna p٠b٠b ma w rozkładzie na czynniki nieparzystą liczbę "p", natomiast równa jej liczba a٠a w rozkładzie na czynniki pierwsze ma parzystą liczbę "p". Otrzymaliśmy sprzeczność z twierdzeniem "każde dwa rozkłady liczby naturalnej rozłożonej na czynniki pierwsze różnią się co najwyżej kolejnością czynników". Prawdziwe jest więc twierdzenie "liczba √p jest liczbą niewymierną".

DYSKUSJA
klasa:
I liceum
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
ISBN: 9788375941807
Autor rozwiązania
user profile

Magda

15810

Nauczyciel

Matematyk z wieloletnim doświadczeniem, Uwielbiam sport, przede wszystkim narciarstwo biegowe. W wolnym czasie podróżuję.

Wiedza
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY3795ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA4416WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE599KOMENTARZY
komentarze
... i7173razy podziękowaliście
Autorom