Przypomnijmy, że

Jeśli długości boków trójkąta oznaczymy literami a,b,c w taki sposób, że a≤b≤c oraz

• a²+b²<c² to trójkąt jest rozwartokątny
• a²+b²=c² to trójkąt jest prostokątny
• a²+b²>c² to trójkąt jest ostrokątny     

---

a) 

Z zależności podanych w zadaniu możemy zapisać, że boki trójkąta mają długość

$x,x\sqrt{3},2x$

dla pewnej dodatniej wartości x. 

Podane długości boków uporządkujmy rosnąco

  $x<x\sqrt{3}<2x$  

Zauważmy, że 

$x^2+{\left(x\sqrt{3}\right)}^2=x^2+3x^2=4x^2$  

${\left(2x\right)}^2=4x^2$

więc

$x^2+{\left(x\sqrt{3}\right)}^2={\left(2x\right)}^2$  

czyli ten trójkąt jest prostokątny.  

---

b)

Z zależności podanych w zadaniu możemy zapisać, że boki trójkąta mają długość

$4x,5x,6x$

dla pewnej dodatniej wartości x. 

Podane długości boków uporządkujmy rosnąco

  $4x<5x<6x$  

Zauważmy, że 

${\left(4x\right)}^2+{\left(5x\right)}^2=16x^2+25x^2=41x^2$  

${\left(6x\right)}^2=36x^2$

więc

${\left(4x\right)}^2+{\left(5x\right)}^2>{\left(6x\right)}^2$   

zatem ten trójkąt jest ostrokątny.  

---

c) 

Z zależności podanych w zadaniu możemy zapisać, że boki trójkąta mają długość

$5x,12x,13x$

dla pewnej dodatniej wartości x. 

Podane długości boków uporządkujmy rosnąco

  $5x<12x<13x$  

Zauważmy, że 

${\left(5x\right)}^2+{\left(12x\right)}^2=25x^2+144x^2=169x^2$

${\left(13x\right)}^2=169x^2$

więc

${\left(5x\right)}^2+{\left(12x\right)}^2={\left(13x\right)}^2$    

zatem ten trójkąt jest prostokątny.  

---

d)

Z zależności podanych w zadaniu możemy zapisać, że boki trójkąta mają długość

$x\sqrt{11},7x,8x$

dla pewnej dodatniej wartości x. 

zauważmy, że

$\sqrt{11}\approx 3,3$  

Podane długości boków uporządkujmy rosnąco

  $x\sqrt{11}<7x<8x$  

Zauważmy, że 

${\left(x\sqrt{11}\right)}^2+{\left(7x\right)}^2=11x^2+49x^2=60x^2$

${\left(8x\right)}^2=64x^2$   

więc

${\left(x\sqrt{11}\right)}^2+{\left(7x\right)}^2<{\left(8x\right)}^2$  

zatem ten trójkąt jest rozwartokątny.