Przypomnijmy, że

Jeśli długości boków trójkąta oznaczymy literami a,b,c w taki sposób, że a≤b≤c oraz

• a²+b²<c² to trójkąt jest rozwartokątny
• a²+b²=c² to trójkąt jest prostokątny
• a²+b²>c² to trójkąt jest ostrokątny           

---

a) Podane długości boków uporządkujmy rosnąco

  $2,5<6<6,5$  

otrzymujemy

${\left(2,5\right)}^2+6^2=6,25+36=42,25$   

${6,5}^2=42,25$

czyli 

${\left(2,5\right)}^2+6^2={6,5}^2$  

zatem ten trójkąt jest prostokątny.  

---

b) Podane długości boków uporządkujmy rosnąco

  $\sqrt{2}<2<3$  

otrzymujemy

${\left(\sqrt{2}\right)}^2+2^2=2+4=6$

$3^2=9$

czyli 

${\left(\sqrt{2}\right)}^2+2^2<3^2$     

zatem ten trójkąt jest rozwartokątny.  

---

c) Podane długości boków uporządkujmy rosnąco

  $5<8<9$  

otrzymujemy

$5^2+8^2=25+64=89$   

$9^2=81$

czyli 

$5^2+8^2>9^2$   

zatem ten trójkąt jest ostrokątny.  

---

d) Zauważmy, że

$3\sqrt{2}\approx 3\cdot 1,4=4,2$  

$\sqrt{15}\approx 3,9$  

$\sqrt{3}\approx 1,7$  

Podane długości boków uporządkujmy rosnąco

  $\sqrt{3}<\sqrt{15}<3\sqrt{2}$  

otrzymujemy

${\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{15}\right)}^2=3+15=18$   

${\left(3\sqrt{2}\right)}^2=9\cdot 2=18$

czyli 

${\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{15}\right)}^2={\left(3\sqrt{2}\right)}^2$   

zatem ten trójkąt jest prostokątny.  

---

e) Przy założeniu, że a>0 uporządkujmy rosnąco podane długości boków

  $a\sqrt{2}<a\sqrt{3}<a\sqrt{6}$  

otrzymujemy

${\left(a\sqrt{2}\right)}^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2=2a^2+3a^2=5a^2$   

${\left(a\sqrt{6}\right)}^2=6a^2$  

czyli 

${\left(a\sqrt{2}\right)}^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2<{\left(a\sqrt{6}\right)}^2$  

zatem ten trójkąt jest rozwartokątny.  

---

f) Zauważmy, że

$\sqrt{3}+1\approx 1,7+1=2,7$  

$\sqrt{3}-1\approx 1,7-1=0,7$  

$2\sqrt{2}\approx 2\cdot 1,4=2,8$  

Podane długości boków uporządkujmy rosnąco

  $\sqrt{3}-1<\sqrt{3}+1<2\sqrt{2}$  

otrzymujemy

  ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^2+{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2=3-2\sqrt{3}+1+3+2\sqrt{3}+1=8$   

${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=4\cdot 2=8$

czyli 

${\left(\sqrt{3}-1\right)}^2+{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2$   

zatem ten trójkąt jest prostokątny.