I liceum

I technikum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Suma liczb x i y jest równa 36. Stąd:

a) Rozwiązanie algebraiczne:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/41bdb53e-3e0c-479b-8298-1bba3d2b5db8_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/41bdb53e-3e0c-479b-8298-1bba3d2b5db8_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/4c07e79d-a831-4ff3-b875-4b5a6efe09be_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/4c07e79d-a831-4ff3-b875-4b5a6efe09be_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/83b885ae-a852-4df7-bb57-e6e7a0ef07da_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/83b885ae-a852-4df7-bb57-e6e7a0ef07da_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/a1e94666-fab6-491d-8982-ca4ea9d2abc9_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/a1e94666-fab6-491d-8982-ca4ea9d2abc9_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Podstawiamy -3x=-7-2y do drugiego równania.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/68601017-059f-49da-9b9d-fa53476aaaf5_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/68601017-059f-49da-9b9d-fa53476aaaf5_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/eff7aa15-b5a6-413c-8f8b-141fabec00a5_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Podstawiamy y=1 do pierwszego równania.
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/0c0f8026-5e6b-4445-8e4a-9ca55d1154b3_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/f12a35b3-2add-4dc1-92e1-36fa63555c30_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/f12a35b3-2add-4dc1-92e1-36fa63555c30_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/4d1a9945-a8b8-4ae2-b68b-718d71022c10_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (3, 1).
<hr>
Rozwiązanie graficzne:
Skorzystamy z uporządkowanej już postaci układu równań i wyznaczymy z niej równania prostych.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/83b885ae-a852-4df7-bb57-e6e7a0ef07da_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/83b885ae-a852-4df7-bb57-e6e7a0ef07da_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/d0433caa-cccf-4924-9c55-c6ac998f555b_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/d0433caa-cccf-4924-9c55-c6ac998f555b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/a8695702-9665-49bf-a51f-684f96ea4b42_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/a8695702-9665-49bf-a51f-684f96ea4b42_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Narysujemy we wspólnym układzie współrzędnych wykresy prostych y=1,5x-3,5 oraz y=x-2.
Wykres prostej y=1,5x-3,5 przechodzi przez punkty (1, -2) oraz (3, 1).
Wykres prostej y=x-2 przechodzi przez punkty (0, -2) oraz (2, 0).
<img src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/156566/zad11astr234.jpg" alt="" width="533" height="530">
<hr><hr>
b) Rozwiązanie algebraiczne:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/ce5e329f-3959-4099-a591-68679adc6e63_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/ce5e329f-3959-4099-a591-68679adc6e63_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/4286f853-0aa4-4b46-ba81-d64d794ee79c_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/4286f853-0aa4-4b46-ba81-d64d794ee79c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/17a1296f-d57f-49f4-9adc-804a0c7c85b8_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/17a1296f-d57f-49f4-9adc-804a0c7c85b8_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/3c14ab22-a37b-456f-9d68-38e93b2084b0_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/3c14ab22-a37b-456f-9d68-38e93b2084b0_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/52bfbf42-5e2e-4f1b-9829-cceedab9518d_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/52bfbf42-5e2e-4f1b-9829-cceedab9518d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Podstawiamy x=y-9 do drugiego równania.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/3cae4c33-207b-4aa3-82df-ec236d6c634b_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/3cae4c33-207b-4aa3-82df-ec236d6c634b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/88a50c9e-1ffb-4f44-bc90-2e2764cd3e36_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/88a50c9e-1ffb-4f44-bc90-2e2764cd3e36_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/44a412ec-c768-4d87-a91b-ba0762f8190a_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/44a412ec-c768-4d87-a91b-ba0762f8190a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/efd43a83-e4c2-4f7c-83cd-752eec75c85b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Podstawiamy y=2 do drugiego równania.
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/5ddc1089-c2b1-4165-875e-b223b17b297a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/2349adef-4816-4d23-9371-9406204ec545_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (-7, 2).
<hr>
Rozwiązanie graficzne:
Skorzystamy z uporządkowanej już postaci układu równań i wyznaczymy z niej równania prostych.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/3c14ab22-a37b-456f-9d68-38e93b2084b0_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/3c14ab22-a37b-456f-9d68-38e93b2084b0_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/a70d3c62-6937-4e28-a10d-d36666f8602b_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/a70d3c62-6937-4e28-a10d-d36666f8602b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/69d1c53e-9c46-42e6-8149-5e8b43ace098_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/69d1c53e-9c46-42e6-8149-5e8b43ace098_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Narysujemy we wspólnym układzie współrzędnych wykresy prostych y=x+9 oraz y=-0,4x-0,8.
Wykres prostej y=x+9 przechodzi przez punkty (-3, 6) oraz (-5, 4).
Wykres prostej y=-0,4x-0,8 przechodzi przez punkty (-2, 0) oraz (3, -2).
<img src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/156567/zad11bstr234.jpg" alt="" width="488" height="529">

a) Rozwiązanie algebraiczne:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/fc597ea1-9b2c-4130-89d8-bce3e4ef9f58_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/fc597ea1-9b2c-4130-89d8-bce3e4ef9f58_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/0c719e40-9f7e-4d2f-8c68-3a1f3ff5a014_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191009/0c719e40-9f7e-4d2f-8c68-3a1f3ff5a014_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

a) Podstawiamy do układu x=2, y=2 i wyznaczamy z niego a oraz b.

a) Niech f(x)=ax+b.
Po podstawieniu współrzędnych punktu A(-1, 0) otrzymujemy równanie:

Oznaczmy:
x - liczba owiec pierwszego pasterza
y - liczba owiec drugiego pasterza
<hr>
Obaj pasterze mają razem 444 owce. Stąd:

Oznaczmy:
x - cyfra dziesiątek
y - cyfra jedności
<hr>
Wówczas: 
10x+y - liczba dwucyfrowa
10y+x - liczba o przestawionych cyfrach
<hr>
Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 15. Stąd:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/6094d802-3ebf-4deb-8390-e1c4be5987bc_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<hr>
Liczba o przestawionych cyfrach jest o 9 większa od szukanej. Stąd:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/9a65d134-780e-4679-8faf-05f00c4c7a91_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<hr>
Zapisujemy powyższe równania jako układ i wyznaczamy z niego x oraz y:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/458844e6-b89a-45ba-b2c1-1698b2ad47c2_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/458844e6-b89a-45ba-b2c1-1698b2ad47c2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/edd06f6a-565a-4e6f-a7df-bb1bb5c8e783_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/edd06f6a-565a-4e6f-a7df-bb1bb5c8e783_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/34d170d6-80f5-4b18-bf46-ff31bf3e2971_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Dodajemy równania stronami.
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/572bcdda-daa6-4dd6-901d-10a9019533d3_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/5b729ce1-4ca3-40b7-a6db-1dc799563995_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Wartość x=7 podstawiamy do dowolnego równania układu i obliczamy y.
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/9873bf89-272a-4a62-ad8a-ab1a296b87a9_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/eb7dd8db-adff-45ba-b6bf-ad4d693a1978_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20200427/e33d3655-1ed4-45d0-b7fc-fc1bdfbf34aa_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<hr>
Odp. Szukana liczba to 78.

Oznaczmy:
x - masa pierwszego stopu
y - masa drugiego stopu
<hr>
Pierwszy stop zawiera 80% czystego złota, czyli

Komentarze