III liceum

III technikum

IV technikum

Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2017. Arkusz poprawkowy

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020.

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2021

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2022

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018. Drugi termin

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom rozszerzony 2022

MATeMAtyka 3. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Próbne arkusze maturalne. Zestaw 1. Poziom podstawowy

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom podstawowy. Po gimnazjum

Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rysunek przedstawiający najkrótszą szukaną łamaną:&nbsp;&nbsp;

Przypomnijmy:
Graniastosłup, który ma n-boków w podstawie ma:
2n wierzchołków
3n krawędzi 
n+2 ścian

a) Rzut prostokątny przekątnej BD1 na płaszczyznę podstawy, czyli na płaszczyznę ABCD:    
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98838/NRzxxV3p8BX520gLH25jYg%3D%3D_e79f2fc389fcc98473a8a005efd50cba75718ed9aaef17345b9700dbf32e0517.jpg" alt="" width="327" height="440">
Rzutem prostokątnym jest odcinek BD.
 
Podobnie:
Rzutem prostokątnym przekątnej BD1 na płaszczyznę BCC1B1 jest odcinek BC1.
Rzutem prostokątnym przekątnej BD1 na płaszczyznę B1C1D1A1 jest odcinek D1B1.
<hr>
b)
Kąt jaki tworzy przekątna BD1 z płaszczyzną podstawy to kąt D1BD.
Kąt jaki tworzy przekątna BD1 z płaszczyzną BCC1B1 to kąt D1BC1.
Kąt jaki tworzy przekątna BD1 z płaszczyzną DCC1D1 to kąt BD1C.

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98351/6gOFVTiGdwcJvPeAaRWP/Q%3D%3D_94d0ac3edf860ca746474826c369441b98d8e65ea23e9eaa0fab7bbda65e2ab6.jpg" alt="" width="317" height="418"> Obliczmy długość przekątnej podstawy.&nbsp;&nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98328/RaCSRSTl/auPICs5RUgG5A%3D%3D_18b91049f7b67dc0769ef6143dbcfeebd2bc1ce6dc83eed8fc5ea7c7e55471a6.jpg" alt="" width="247" height="369"> Zauważmy, że przekątna podstawy to przekątna kwadratu o boku długości 12 cm. Zatem przekątna podstawy ma długość 12√2 cm.&nbsp;&nbsp;

Oznaczmy: 2x - długość krótszej przekątne podstawy 3x - długość dłuższej przekątnej podstawy 4x - wysokość tego prostopadłościanu &nbsp; Rysunek pomocniczy:&nbsp; &nbsp;&nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98346/2bZDJyX/P2A82Gs8/KT%2B6g%3D%3D_c6f0923029e0c9113532095a7ab1413720c8e91c3a91fcdca901ac01fe83c4f8.jpg" alt="" width="414" height="482">&nbsp; &nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98206/9tXfBSBBdbL3haD3UZuXnw%3D%3D_4400127b5ccc9c0331baa6648d34cb21910371ddeb6a3ff116988db05fa70332.jpg" alt="" width="259" height="262"> Z tw. Pitagorasa otrzymujemy:&nbsp; &nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98206/9tXfBSBBdbL3haD3UZuXnw%3D%3D_4400127b5ccc9c0331baa6648d34cb21910371ddeb6a3ff116988db05fa70332.jpg" alt="" width="259" height="262"> Z treści zadania wiemy, że: a2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​+m=d &nbsp; &nbsp; Z tw. Pitagorasa otrzymujemy:&nbsp; &nbsp;

a - długość krawędzi szukanego sześcianu Z treści zadania wiemy, że objętość szukanego sześcianu jest sumą objętości sześcianów o krawędziach długości 5, 12 i 13, zatem:&nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98354/9SWmCnE9obGVP%2B50Nl0Xgg%3D%3D_c6ef5ff685feeee989562a67188ef8d037e1f94a45d94ce4acf143b9231fe860.jpg" alt="" width="778" height="372">&nbsp; &nbsp; Obliczmy przekątną ściany bocznej, czyli długość a. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c6d861f50ab60413fb025342dca5293178d20790aaaf627c2d8bbe8319b1f7ff_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c6d861f50ab60413fb025342dca5293178d20790aaaf627c2d8bbe8319b1f7ff_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/07213e6628eade859a0ce8c7030d4ae7790c57c085660ee0530da69da22ea2a5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/07213e6628eade859a0ce8c7030d4ae7790c57c085660ee0530da69da22ea2a5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e54e0500c7ad30204fc13565b2e41d55b623b2672acae8b7864f5331c118aba0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e54e0500c7ad30204fc13565b2e41d55b623b2672acae8b7864f5331c118aba0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f1ca8ba45b617c837642cfff6315866df63ece2f7e2b2c20f6f26417bb0ef41c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f1ca8ba45b617c837642cfff6315866df63ece2f7e2b2c20f6f26417bb0ef41c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Obliczmy pole pierwszego z przekrojów (jest to prostokąt). <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4a3fcfd2cf7ed55bce6efa7974fb55b283eca67b342d23a346b75e13a39b0045_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4a3fcfd2cf7ed55bce6efa7974fb55b283eca67b342d23a346b75e13a39b0045_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Obliczmy przekątną podstawy, czyli długość b. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4063d7e6e65a36e9f7b90c3e5133f5429aaffc606d488d4a2a70bc66033785b0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4063d7e6e65a36e9f7b90c3e5133f5429aaffc606d488d4a2a70bc66033785b0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c92c58acfdee00cb1bb7171d294cccdbbcd85915147c27af38ad816a52557f00_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c92c58acfdee00cb1bb7171d294cccdbbcd85915147c27af38ad816a52557f00_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/53d32f8206b14956dadda04f34f2285400cc442a8443f23daf37ad45a8ae36bd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/53d32f8206b14956dadda04f34f2285400cc442a8443f23daf37ad45a8ae36bd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/49a5dbc285abcdcfa24d2f5feac2282cf68c658587aaa0c9e459a744547f718f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/49a5dbc285abcdcfa24d2f5feac2282cf68c658587aaa0c9e459a744547f718f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/82977ced7e4904edafbd668a0bd58a0848d8d2bab58d5ee79cd5239fc3bf506d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/82977ced7e4904edafbd668a0bd58a0848d8d2bab58d5ee79cd5239fc3bf506d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Obliczmy pole drugiego z przekrojów (jest to prostokąt). <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a961ab11e60e3c4163dbbc9b78317614e7086c1057354537412aaaf0d7494b7e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a961ab11e60e3c4163dbbc9b78317614e7086c1057354537412aaaf0d7494b7e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Pierwszy z otrzymanych przekrojów ma większe pole. Obliczmy o ile procent większe od pola drugiego przekroju. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/745c650130a6ac2667aa683ab44275bf2c67c3a8ec1f81e6ec25a591da9f9277_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/745c650130a6ac2667aa683ab44275bf2c67c3a8ec1f81e6ec25a591da9f9277_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Odp. Pierwszy z przekrojów ma większe pole, o ok. 18%.

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98206/9tXfBSBBdbL3haD3UZuXnw%3D%3D_4400127b5ccc9c0331baa6648d34cb21910371ddeb6a3ff116988db05fa70332.jpg" alt="" width="259" height="262"> Z treści zadania wiemy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/db545d8c133679a7ab1c18ea148015932e39794c62d8c83b03e4563baa654099_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/db545d8c133679a7ab1c18ea148015932e39794c62d8c83b03e4563baa654099_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Z tw. Pitagorasa otrzymujemy:&nbsp; &nbsp;

Komentarze