a) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:  

$a^2=5^2-1^2$  

$a^2=25-1$  

$a^2=24$  

$a=2\sqrt{6}$  

$\left|PA\right|=2\sqrt{6}$  

$\left|PA\right|=\sqrt{{\left(x_A-0\right)}^2+{\left(y_A+5\right)}^2}$  

$\left|PA\right|=\sqrt{x_A^2+y_A^2+10y_A+25}$  

$24=x_A^2+y_A^2+10y_A+25$  

$24=1+10y_A+25$  

$24=10y_A+26$  

$-2=10y_A$  

$y_A=-\frac{1}{5}$  

zatem:

$x_A^2+y_A^2=1$  

$x_A^2+\frac{1}{25}=1$  

$x_A^2=\frac{24}{25}$  

$x_A=-\frac{2\sqrt{6}}{5}\text{lub}{x}_A=\frac{2\sqrt{6}}{5}$  

 

Wyznaczmy równie stycznej przechodzącej przez punkt $\left(0,-5\right)$   i $\left(-\frac{2\sqrt{6}}{5},-\frac{1}{5}\right)$  :

$\{\begin{array}{l}-5=b\\ -\frac{1}{5}=\frac{-2\sqrt{6}}{5}a+b\end{array}$  

$-\frac{1}{5}=\frac{-2\sqrt{6}}{5}a-5\mid \cdot 5$  

$-1=-2\sqrt{6}a-25$  

$24=-2\sqrt{6}a$  

$a=\frac{24}{-2\sqrt{6}}$  

$a=-\frac{12}{\sqrt{6}}$  

$a=-\frac{12\sqrt{6}}{6}$  

$a=-2\sqrt{6}$  

zatem równanie tej stycznej jest postaci:

$y=-2\sqrt{6}x-5$  

 

Wyznaczmy równie stycznej przechodzącej przez punkt $\left(0,-5\right)$   i $\left(\frac{2\sqrt{6}}{5},-\frac{1}{5}\right)$  :

$\{\begin{array}{l}-5=b\\ -\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}a+b\end{array}$  

$-\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}a-5\mid \cdot 5$  

$-1=2\sqrt{6}a-25$  

$24=2\sqrt{6}a$  

$a=\frac{24}{2\sqrt{6}}$  

$a=\frac{12}{\sqrt{6}}$  

$a=\frac{12\sqrt{6}}{6}$  

$a=2\sqrt{6}$  

zatem równanie tej stycznej jest postaci:

$y=2\sqrt{6}x-5$  

---

b) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do prostej y=x przechodzącej przez punkt (0, 0):

$y=-x$  

Znajdźmy współrzędne punktów przecięcia prostej  $y=-x$  i podanego okręgu:

$x^2+{\left(-x\right)}^2=1$  

$x^2+x^2=1$  

$2x^2=1$  

$x^2=\frac{1}{2}$  

$x_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{lub}{x}_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$y_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{lub}{y}_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

 

Punkty te mają współrzędne:

$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$  i  $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$  

 

Wyznaczmy równanie prostej y₁ równoległej do prostej  $y=x$   przechodzącej przez punkt  $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$  

równanie to jest postaci:

$y_1=x+b$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+b\mid +\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\sqrt{2}=b$  

$y_1=x+\sqrt{2}$  

 

Wyznaczmy równanie prostej y₂ równoległej do prostej  $y=x$   przechodzącej przez punkt  $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$  

równanie to jest postaci:

$y_2=x+b$  

$-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+b\mid -\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$-\sqrt{2}=b$  

$y_2=x-\sqrt{2}$  

---

c) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wyznaczmy punkty przecięcia okręgu i prostej  $y=2x$  :

$x^2+{\left(2x\right)}^2=1$  

$x^2+4x^2=1$  

$5x^2=1$  

$x^2=\frac{1}{5}$  

$x_1=\frac{\sqrt{5}}{5}\text{lub}{x}_2=-\frac{\sqrt{5}}{5}$  

$y_2=2\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\text{lub}{y}_2=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

 

Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do prostej  $y=2x$  przechodzącej przez punkt  $\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$

prosta ta jest postaci:

$y_1=-\frac{1}{2}x+b$   

$\frac{2\sqrt{5}}{5}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}+b$  

$\frac{2\sqrt{5}}{5}=-\frac{\sqrt{5}}{10}+b\mid +\frac{\sqrt{5}}{10}$  

$b=\frac{4\sqrt{5}}{10}+\frac{\sqrt{5}}{10}$  

$b=\frac{5\sqrt{5}}{10}$  

$b=\frac{\sqrt{5}}{2}$  

zatem:

$y_1=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{5}}{2}$  

 

Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do prostej  $y=2x$  przechodzącej przez punkt  $\left(-\frac{\sqrt{5}}{5},-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$

prosta ta jest postaci:

$y_2=-\frac{1}{2}x+b$   

$-\frac{2\sqrt{5}}{5}=-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)+b$  

$-\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{10}+b\mid -\frac{\sqrt{5}}{10}$  

$b=-\frac{4\sqrt{5}}{10}-\frac{\sqrt{5}}{10}$  

$b=-\frac{5\sqrt{5}}{10}$  

$b=-\frac{\sqrt{5}}{2}$  

zatem:

$y_2=-\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{5}}{2}$  

---

d) Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wyznaczmy odległość punktów $\left(0,0\right)$   i $\left(1,2\right)$  :

$x=\sqrt{{\left(0-1\right)}^2+{\left(0-2\right)}^2}$  

$x=\sqrt{1+4}$  

$x=\sqrt{5}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy długość odcinka a:

$a^2+1^2={\sqrt{5}}^2$  

$a^2+1=5$  

$a^2=4$  

$a=2$  

Wyznaczmy współrzędne punktów, które należą do okręgu, a których odległość od punktu $\left(1,2\right)$   wynosi 2:

$\{\begin{array}{l}2=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2}\\ x^2+y^2=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4={\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2\\ x^2+y^2=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4=x^2-2x+1+y^2-4y+4\\ x^2+y^2=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1=x^2-2x+y^2-4y\\ x^2+y^2=1\end{array}$  

$x^2=1-y^2$  

$x=\sqrt{1-y^2}$  

$-1=1-y^2-2\sqrt{1-y^2}+y^2-4y$  

$-2\sqrt{1-y^2}04y+2=0$  

$-\sqrt{1-y^2}-2y+1=0$  

$\sqrt{1-y^2}=-2y+1{\mid }^2$  

$1-y^2={\left(-2y+1\right)}^2$  

$1-y^2=4y^2-4y+1$  

$5y^2-4y=0$  

$y\left(5y-4\right)=0$  

$y_1=0\text{lub}{y}_2=5y=4$  

$y_1=0\text{lub}{y}_2=\frac{4}{5}$  

$x_1=\sqrt{1-0}=\sqrt{1}=1\text{lub}{x}_2=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}$  

 

Wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez punkty $\left(1,2\right)$   i $\left(1,1\right)$  :

$x=1$  

 

Wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez punkty $\left(1,2\right)$   i $\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$  :

$\{\begin{array}{l}2=a+b\\ \frac{4}{5}=-\frac{3}{5}a+b\mid \cdot 5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2-b\\ 4=-3a+5b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2-b\\ 4=-3\left(2-b\right)+5b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=2-b\\ 4=-6+3b+5b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=2-b\\ 4=-6+8b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=2-b\\ 10=8b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=2-b\\ b=\frac{10}{8}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=\frac{16}{8}-\frac{10}{8}\\ b=\frac{10}{8}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=\frac{5}{4}\end{array}$

zatem:

  $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$