Średnica okręgu o najmniejszym promieniu będzie zawierała się w prostej prostopadłej do prostej  $3x-4y-12=0$  przechodzącej przez punkt  $A=\left(-2,3\right)$  

Wyznaczmy postać kierunkową podanej prostej:

$3x-4y-12=0$  

$3x-12=4y$  

$y=\frac{3}{4}x-3$  

więc prosta prostopadła do tej prostej ma równanie postaci:

$y=-\frac{4}{3}x+b$  

Obliczmy wartość współczynnika b, wiedząc, że do tej prostej należy punkt $A=\left(-2,3\right)$  :

$3=-\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)+b$  

$3=\frac{8}{3}+b$  

$b=\frac{1}{3}$  

więc równanie szukanej prostej ma postać:

$y=-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$  

zatem współrzędne środka B -tego okręgu mają postać:

$B=\left(x,-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\right)$  

Wyznaczmy punkt przecięcia C- prostych prostopadłych:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x-3\\ y=-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\end{array}$  

więc:

$\frac{3}{4}x-3=-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$  

$\frac{9}{12}x-3=-\frac{16}{12}x+\frac{1}{3}$  

$\frac{25}{12}x=3\frac{1}{3}$  

$\frac{25}{12}x=\frac{10}{3}$  

$x=\frac{40}{25}$  

$x=\frac{8}{5}$  

$y=\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{5}-3=\frac{6}{5}-3=-1\frac{4}{5}$  

$C=\left(\frac{8}{5};-\frac{9}{5}\right)$  

 

Obliczmy odległość środka $A=\left(-2,3\right)$  okręgu o promieniu $r=\sqrt{16}$  od prostej o równaniu $3x-4y-12=0$  :

$\frac{\left|3\cdot \left(-2\right)-4\cdot 3-12\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{\left|-6-12-12\right|}{\sqrt{9+16}}=\frac{\left|-30\right|}{\sqrt{25}}=\frac{30}{5}=6$  

 

Obliczmy długość średnicy tego okręgu:

$6-\sqrt{16}=6-4=2$  

 

Obliczmy długość promienia szukanego okręgu:

$2:2=1$  

 

Obliczmy współrzędne środka tego okręgu:

$\left|BC\right|=1$  

$\sqrt{{\left(x_c-x_b\right)}^2+{\left(y_c-y_b\right)}^2}=1$  

$\sqrt{{\left(\frac{8}{5}-x\right)}^2+{\left(-\frac{9}{5}+\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}\right)}^2}=1$  

$\sqrt{\frac{64}{25}-\frac{16}{5}x+x^2+{\left(-\frac{27}{15}+\frac{4}{3}x-\frac{5}{15}\right)}^2}=1$  

$\sqrt{\frac{64}{25}-\frac{16}{5}x+x^2+{\left(-\frac{32}{15}+\frac{4}{3}x\right)}^2}=1$  

$\sqrt{\frac{64}{25}-\frac{16}{5}x+x^2+{\left(-\frac{32}{15}+\frac{4}{3}x\right)}^2}=1$  

$\sqrt{\frac{64}{25}-\frac{16}{5}x+x^2+\frac{1024}{225}-\frac{256}{45}x+\frac{16}{9}{x}^2}=1$  

$\sqrt{\frac{25}{9}{x}^2-\frac{144}{45}x-\frac{256}{45}x+\frac{576}{225}+\frac{1024}{225}}=1$  

$\sqrt{\frac{25}{9}{x}^2-\frac{400}{45}x+\frac{1600}{225}}=1{\mid }^2$  

$\frac{25}{9}{x}^2-\frac{400}{45}x+\frac{1600}{225}=1\mid \cdot 225$  

$625x^2-2000x+1600=225$  

$625x^2-2000x+1375=0\mid :125$  

$5x^2-16x+11=0$  

$\Delta =256-220=36$  

$\sqrt{\Delta }=6$  

$x_1=\frac{16-6}{10}=\frac{10}{10}=1$  

$x_2=\frac{16+6}{10}=\frac{24}{10}=2,4$  

$y_1=-\frac{4}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}=-1$  

$y_2=-\frac{4}{3}\cdot 2,4+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}\cdot \frac{24}{10}+\frac{1}{3}=-\frac{48}{10}+\frac{1}{3}=-4\frac{8}{10}+\frac{1}{3}=-4\frac{24}{30}+\frac{10}{30}=-4\frac{14}{30}=-4\frac{7}{15}$  

Gdyby środek okręgu miał współrzędne (2,4, -4 ⁷/₁₅) a promień wynosiłby 1, to okrąg ten nie byłby styczny do podanego okręgu, zatem środek szukanego okręgu ma współrzędne (1, -1).

 

Równanie okręgu ma postać:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1$