II liceum

II technikum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Rysunek poglądowy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80195/XrxkE4tMMRMBunPVnp7nuA%3D%3D_a10431204d35212f53861b5ad7069042dd5ccf445561f557e5f29a657ec6ea73.png" alt="" width="382" height="316">

Rysunek poglądowy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/79309/IK/T/2eQPorUZU4Tv%2BF5CA%3D%3D_43fd172115dd772a7ec519d378373636b351377bcc1d6f8f4c4fa9aa328c9efd.png" alt="" width="318" height="395"> Trójkąty APE i BPD są podobne na podstawie cechy kąt-kąt. Zatem: ∣∠PAE∣=∣∠DBP∣ &nbsp; A więc: ∣∠BAD∣=∣∠EBA∣ &nbsp; Bok AB jest wspólny dla obu trójkątów ABE i ABD oraz odpowiednie kąty leżące na tym boku mają równe miary. Zatem na podstawie cechy kbk stwierdzamy, że trójkąty ABE i ABD są przystające.

Rysunek poglądowy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/79510/0Jqph6lBY5xn%2BK6pTrJnfQ%3D%3D_ef673224d1c41eeff76cb3336eca7e28c6d4537dba21e2c262f991770d239ae8.png" alt="" width="397" height="376">

Rysunek poglądowy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/79526/efrDRRSqv9Z7FHUdR4o4%2Bw%3D%3D_07aa8caa8b31b636ea9b32bdcf50907c515484185182105d22e21ca562ecbf97.png" alt="" width="443" height="442"> Promień r&nbsp;okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości&nbsp;a, b, c i polu P możemy obliczyć ze wzoru:

Rysunek poglądowy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/79334/Y7fMyVRnPMA%2BiEdaZGawoQ%3D%3D_b891d6d1dcadfedc98c7e401899c11df0d0960ef03cd3b3346f7fdd81219017a.png" alt="" width="506" height="372">

Suma długości boku i przekątnej jest równa 8 cm:

Rysunek poglądowy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/79309/IK/T/2eQPorUZU4Tv%2BF5CA%3D%3D_43fd172115dd772a7ec519d378373636b351377bcc1d6f8f4c4fa9aa328c9efd.png" alt="" width="318" height="395"> Trójkąty APE i BPD są podobne na podstawie cechy kąt-kąt. Zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/02488971e9cdbc1daa06d07f5fbbc0b934b17c472b113f788f954925aa45ac93_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/02488971e9cdbc1daa06d07f5fbbc0b934b17c472b113f788f954925aa45ac93_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; A więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/66a8ffafb2f2fdabae2d5b559bc1e356c357fdc6ea3cd0580ee4b2269a839d8c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/66a8ffafb2f2fdabae2d5b559bc1e356c357fdc6ea3cd0580ee4b2269a839d8c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Bok AB jest wspólny dla obu trójkątów ABE i ABD oraz odpowiednie kąty leżące na tym boku mają równe miary. Zatem na podstawie cechy kbk stwierdzamy, że trójkąty ABE i ABD są przystające.

Rysunek poglądowy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/79692/4HpI0HezcH9uUFWBSJt/Fg%3D%3D_acd0520b204173edb79478606d41691f75a0f5d4dca7400cb2d96f0a606ae7f0.png" alt="" width="358" height="329"> Oznaczmy długość boku AB jako&nbsp;a. Pole trójkąta ABC: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8c492f5f71e6162063159f4ecadc5783cb70dd29c316b2e08ccf879d3ffd213b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8c492f5f71e6162063159f4ecadc5783cb70dd29c316b2e08ccf879d3ffd213b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zauważmy, że długość odcinka SF stanowi 1/3 długości wysokości trójkąta ABC: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/be80776ef7104f16f7b415650ad4912ebd434895354912c16cfb2766832d29be_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/be80776ef7104f16f7b415650ad4912ebd434895354912c16cfb2766832d29be_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Pole sześciokąta foremnego stanowi sześciokrotność pola trójkąta ESF(który jest trójkątem równobocznym), zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2cf7da24013293703e43392ed129ff04d06fc1ce364160b736cf7bcadc06cad1_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2cf7da24013293703e43392ed129ff04d06fc1ce364160b736cf7bcadc06cad1_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Stosunek pola trójkąta do pola sześciokąta: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/670201b39d2fa41ff0ed4ce6be768cb64715f33e0e8a22f63dd13cf82fd4d4c7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/670201b39d2fa41ff0ed4ce6be768cb64715f33e0e8a22f63dd13cf82fd4d4c7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; A więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c206006199479dc3684cd97c50d703e0661088a13a8662c2cd24b7a9350c541a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c206006199479dc3684cd97c50d703e0661088a13a8662c2cd24b7a9350c541a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; A więc stosunek pola trójkąta do pola sześciokąta wynosi 2:1.

Komentarze