1 szkoły średniej

2 szkoły średniej

I liceum

I technikum

II technikum

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

Implikacją o poprzedniku&nbsp; p &nbsp;i następniku&nbsp; q &nbsp;nazywamy zdanie "jeśli&nbsp; p &nbsp;to&nbsp; q &nbsp;" i oznaczamy&nbsp; p⇒q. &nbsp; Implikacja jest prawdziwa wtedy, gdy poprzednik i następnik są prawdziwe oraz wtedy, gdy poprzednik jest fałszywy (wówczas następnik może być prawdziwy lub fałszywy). <hr> Równoważnością zdań&nbsp; p &nbsp;oraz&nbsp; q &nbsp;nazywamy zdanie " p &nbsp;wtedy i tylko wtedy, gdy&nbsp; q " i oznaczamy&nbsp; p⇔q. &nbsp; Równoważność dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy tworzące ją zdania mają tę samą wartość logiczną, tzn. oba są prawdziwe lub oba są fałszywe. <hr> a) &nbsp;zdanie prawdziwe (poprzednik implikacji jest fałszywy)&nbsp;

Zdanie&nbsp; p∧q &nbsp;jest prawdziwe, więc oba zdania składowe są prawdziwe. Implikacja&nbsp; p⇒q &nbsp;jest zdaniem prawdziwym.&nbsp;

Zdanie&nbsp; p∨q &nbsp;jest fałszywe, więc oba zdania składowe są fałszywe. Zdanie&nbsp; ¬p &nbsp;jest prawdziwe.&nbsp;

Zdanie&nbsp; p⇒q &nbsp;jest fałszywe, więc zdanie&nbsp; p &nbsp;jest prawdziwe (poprzednik), a zdanie&nbsp; q &nbsp;jest fałszywe (następnik).&nbsp; Zdanie&nbsp; ¬p &nbsp;jest fałszywe, więc implikacja&nbsp; (¬p)⇒(q∨p) &nbsp;jest zdaniem prawdziwym. Stąd implikacja&nbsp; [(¬p)⇒(q∨p)]⇒q &nbsp;jest zdaniem fałszywym, bo poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

a) &nbsp;Założenie: liczba jest parzysta. Teza: liczba jest podzielna przez 12. Twierdzenie jest fałszywe. <hr> Twierdzenie odwrotne do danego: Jeżeli liczba jest podzielna przez 12, to jest parzysta. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe. <hr><hr> b) &nbsp;Założenie: trójkąt ma tylko dwa kąty ostre. Teza: trójkąt jest ostrokątny. Twierdzenie jest fałszywe. <hr> Twierdzenie odwrotne do danego: Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to ma tylko dwa kąty ostre. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe. <hr><hr> c) &nbsp;Założenie: liczba jest podzielna przez 3 i przez 5. Teza: liczba jest podzielna przez 15. Twierdzenie jest prawdziwe.&nbsp;

Twierdzenie Pitagorasa:
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa
kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
<hr>
Twierdzenie Pitagorasa w postaci implikacji:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa
kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

a) p⇒q: &nbsp; Jeżeli romb jest kwadratem, to każdy kąt rombu ma miarę&nbsp; 90∘.− &nbsp;zdanie prawdziwe q⇒p: &nbsp; Jeżeli każdy kąt rombu ma miarę&nbsp; 90∘, &nbsp;to ten romb jest kwadratem. − &nbsp; zdanie prawdziwe p⇔q− &nbsp;zdanie prawdziwe <hr> b) p⇒q: &nbsp; Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 20, &nbsp;to jest podzielna przez&nbsp; 10 &nbsp;i przez&nbsp; 2.− &nbsp;zdanie prawdziwe q⇒p: &nbsp; Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 10 &nbsp;i przez&nbsp; 2, &nbsp;to jest podzielna przez&nbsp; 20.− zdanie fałszywe p⇔q− &nbsp;zdanie fałszywe <hr> c) p⇒q: &nbsp; Jeżeli suma dwóch liczb jest dodatnia, to te liczby są dodatnie. − &nbsp; zdanie fałszywe&nbsp;

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Szkoła branżowa I stopnia. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka dla zasadniczych szkół zawodowych. Cz. 1

Matematyka do zasadniczych szkół zawodowych 1

Matematyka do zasadniczych szkół zawodowych 2

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka w szkole branżowej I stopnia. Podręcznik 1. Reforma 2019

Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej kl. I - III

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Komentarze