Wiemy, że długość krótszej przekątnej wynosi $e=8cm$ . Jest ona prostopadła do dłuższego ramienia $r$  i z dłuższą podstawą $a$  tworzy kąt ${60}^{\circ }$ . Z tego wynika, że trójkąt o bokach $a$ , $e$  i $r$  będzie trójkątem prostokątnym o kątach wewnętrznych ${30}^{\circ }$ , ${60}^{\circ }$  i ${90}^{\circ }$  gdzie $a$  będzie przeciwprostokątną tego trójkąta. Wykonajmy rysunek:

Korzystając z własności trójkąta ${30}^{\circ }$ , ${60}^{\circ }$  i ${90}^{\circ }$  otrzymujemy, że:

$a=2e\text{, czyli }a=2\cdot 8cm=16cm$  

$r=e\sqrt{3}\text{, czyli }r=8cm\cdot \sqrt{3}=8\sqrt{3}cm$  

$b=\frac{1}{2}e\text{, czyli }b=\frac{1}{2}\cdot 8cm=4cm$  

$h=\frac{e\sqrt{3}}{2}\text{, czyli }h=\frac{\stackrel{4}{\sout{8}}cm\cdot \sqrt{3}}{\underset{1}{\sout{2}}}=4\sqrt{3}cm$  

Wówczas pole trapezu wynosi:

$P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}$  

$P=\frac{\left(16cm+4cm\right)\cdot \stackrel{2}{\sout{4}}\sqrt{3}cm}{\underset{1}{\sout{2}}}$  

$P=20cm\cdot 2\sqrt{3}cm$  

$P=40\sqrt{3}c{m}^2$  

Obwód trapezu wynosi:

$L=a+b+r+h$  

$L=16cm+4cm+8\sqrt{3}cm+4\sqrt{3}cm$  

$L=20cm+12\sqrt{3}cm$  

$L=\left(4\cdot 5+4\cdot 3\sqrt{3}\right)cm$  

$L=4\left(5+3\sqrt{3}\right)cm$  

 

Odpowiedź:  $\mathbf{C}.40\sqrt{3}c{m}^2,4\left(5+3\sqrt{3}\right)cm$