Zapisz funkcję f(x)= ... - Zadanie 6.: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy - strona 42
Matematyka
Wybierz książkę
Zapisz funkcję f(x)= ... 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

 

Współczynniki:  ,  ,  .     

 


Postacią kanoniczną funkcji ,  jest ,

, gdzie .

 

 

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy 4 szkoły podstawowej

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
4 szkoły podstawowej
Informacje
Autorzy: Maciej Antek, Krzysztof Belka, Piotr Grabowski
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326725906
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Postacie funkcji kwadratowej
Tutaj musimy się nauczyć kilku form funkcji kwadratowej, wbrew pozorom część z nich już używaliśmy. Wyróżniamy 3 postaci funkcji kwadratowej:

Pierwsza ogólna, czyli doskonale nam znana:

$y=ax^2+bx+c$

Druga iloczynowa, czyli to co uzyskujemy przy rozwiązaniu funkcji kwadratowej:

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

Gdzie $x$ z indeksem dolnym to jedno z rozwiązań

Uwaga!

Pamiętaj, że w postaci iloczynowej wszystko jest mnożone przez współczynnik a.

Ostatnia kanoniczna jest zapisywana przy użyciu wierzchołka paraboli:

$y=a(x-p)^2+q$

Jak widać łatwo możemy znaleźć wszystkie pozostałe wzory mając tylko jeden. Właśnie tym się teraz zajmiemy.

Przykład:

Wyznacz postać kanoniczną funkcji $y=x^2+4x+4$.

No to analizujemy czego nam potrzeba:

$a(x-p)^2+q$ Zmienną a już mamy, a=1, pozostaje nam obliczyć dwie pozostałe.

Korzystamy z wzoru na współrzędną P

$p={-b}/{2a}$

I obliczamy

$p={-4}/{2}=-2$

Teraz Q, ale do Q potrzebujemy obliczyć deltę, a więc

$∆=b^2-4ac$

$∆=4^2-4*1*4$

$∆=16-16$

$∆=0$

No to liczymy Q

$Q={-∆}/{4a}

Skoro delta to 0

$Q=0$

Zatem postać kanoniczna

$y=a(x-p)^2+q$

$y=(x+2)^2+0$

$y=(x+2)^2$

Teraz czas na drugi przykład:

Przykład:

Znajdź wzór ogólny funkcji

$y=2(x+1)^2+1$

Widać, że to postać kanoniczna, a szukamy postaci ogólnej, czyli:

$y=ax^2+bx+c$

Zobaczmy co my tu mamy:

$y=a(x-p)^2+q$

$y=2(x+1)^2+1$

$a=2$

$p=-1$ (wg wzoru jest znak minus, a mamy plus)

$q=1$

Potrzebujemy a,b,p

Skorzystajmy z wzoru na współczynnik p, aby obliczyć b:

$p={-b}/{2a}$

Podstawiamy posiadane wartości, czyli p i a.

$-1={-b}/{2×2}$

I obliczamy

${-1}={-b}/{4}$ $|×4$

$-4=-b$

$b=4$

Pozostaje nam c i oczywiście do tego musimy użyć Q

$Q={-∆}/{4a}$

Podstawiamy:

$1=-{b^2-4ac}/{4×2}$

I liczymy

$1=-{4^2-4×2×c}/8 $

$1=-{16-8c}/8$

$1=-(2-c)$

$1=-2+c$

$c=3$

Zatem wzór to:

$y=2x^2+4x+3$

Ciekawostka: to zadanie dało się rozwiązać dużo prościej, wystarczyło uprościć wzór korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$y=2(x+1)^2+1=2(x^2+2x+1)+1=2x^2+4x+2+1=2x^2+4x+3$

Wynik dało się więc uzyskać w jednej linijce! Dlatego warto przed rozwiązaniem zadania zastanowić się, jak najprościej tego dokonać. Pozwoli to zaoszczędzić trochę czasu na maturze.
 

Uwaga!

Wszystkie użyte tu wzory są zawarte w karcie wzorów na maturze.
Warto zapoznać się z wzorami Viete’a, które ułatwiają przekształcenia.
 
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY2789ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA5532WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE745KOMENTARZY
komentarze
... i7635razy podziękowaliście
Autorom