Dla jakich wartości parametru m wartości funkcji...- Zadanie 2.273: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$f (x) = (2 m + 1) x^{2} + (m - 1) x + 3 m$

$g (x) = (1 - m) x + 3$

Chcemy znaleźć te wartości parametru $m,$ dla których nierówność

$f (x) < g (x)$

zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej.

Po podstawieniu wzorów funkcji, otrzymujemy:

$(2 m + 1) x^{2} + (m - 1) x + 3 m < (1 - m) x + 3$

$(2 m + 1) x^{2} + (m - 1) x + 3 m - (1 - m) x - 3 < 0$

$(2 m + 1) x^{2} + (m - 1 - 1 + m) x + 3 m - 3 < 0$

$(2 m + 1) x^{2} + (2 m - 2) x + 3 m - 3 < 0$

$(2 m + 1) x^{2} + 2 (m - 1) x + 3 m - 3 < 0$

Teraz wystarczy zbadać, dla jakich wartości parametru $m$ powyższa nierówność jest zawsze spełniona.

Powyższa nierówność może być kwadratowa lub liniowa (w zależności od współczynnika przy x²), więc rozważymy dwa przypadki.

$2 m + 1 = 0, czyli m = - \frac{1}{2}$

Wówczas mamy nierówność liniową. Przyjmuje ona postać:

$0 \cdot x^{2} + 2 (- \frac{1}{2} - 1) x + 3 \cdot (- \frac{1}{2}) - 3 < 0$

$2 \cdot (- \frac{3}{2}) x - \frac{3}{2} - \frac{6}{2} < 0$

$- 3 x - \frac{9}{2} < 0$

$- 3 x < \frac{9}{2} ∣ \cdot (- \frac{1}{3})$

$x > - \frac{3}{2}$

Zbiorem rozwiązań nierówności nie jest zbiór liczb rzeczywistych, więc ten przypadek nie spełnia warunków zadania.

$2 m + 1 \neq = 0, czyli m \neq = - \frac{1}{2}$

Wówczas mamy nierówność kwadratową. Przyjmuje ona postać:

$(2 m + 1) x^{2} + 2 (m - 1) x + 3 m - 3 < 0$

Zbiorem rozwiązań powyższej nierówności będzie zbiór liczb rzeczywistych, gdy ramiona paraboli będą skierowane do dołu, czyli $2 m + 1 < 0$ oraz $Δ < 0 .$

$Δ = 4 (m - 1)^{2} - 4 (2 m + 1) \cdot 3 (m - 1) = 4 (m - 1) [m - 1 - 3 (2 m + 1)] =$

$= 4 (m - 1) (m - 1 - 6 m - 3) = 4 (m - 1) (- 5 m - 4) = - 4 (m - 1) (5 m + 4)$

$2 m + 1 < 0 \land Δ < 0$

$2 m + 1 < 0 \land - 4 (m - 1) (5 m + 4) < 0$

$m < - \frac{1}{2} \land - 4 (m - 1) (5 m + 4) < 0$

$m \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \land m \in (- \infty, - \frac{4}{5}) \cup (1, + \infty)$

$m \in (- \infty, - \frac{4}{5})$

$Odp. m \in (- \infty, - \frac{4}{5}) .$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.