$\text{a)}f\left(x\right)=\left|x^2-1\right|+x^2$  

Rozważmy najpierw wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną - będziemy chcieli ustalić jego znak.

$y=x^2-1$  

$y=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$  

Zatem, z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x^2-1\right|=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1& \text{dla}{x}^2-1\ge 0\\ -x^2+1& \text{dla}{x}^2-1<0\end{array}$  

Stąd:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1+x^2& \text{dla}x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨1,+\infty )\\ -x^2+1+x^2& \text{dla}x\in \left(-1,1\right)\end{array}$  

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x^2-1& \text{dla}x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨1,+\infty )\\ 1& \text{dla}x\in \left(-1,1\right)\end{array}$  

Wykres funkcji  $f$  jest sumą wykresów funkcji:

$g\left(x\right)=2x^2-1,$  gdzie  $x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨1,+\infty )$  oraz  $h\left(x\right)=1,$  gdzie  $x\in \left(-1,1\right).$   

Wykres funkcji  $g$  otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji  $y=2x^2$  o wektor  $\overrightarrow{u}=\left[0,-1\right].$  

Obliczamy wartości funkcji  $g$  na końcach przedziałów, na których jest określona:

$g\left(-1\right)=g\left(1\right)=1$  

Szkicujemy wykresy funkcji  $g$  i  $h$  na wyznaczonych przedziałach.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji  $f\left(x\right)=\left|x^2-1\right|+x^2,x\in \mathbf{R}.$