$a)$

$f\left(x\right)=0\iff 2\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\iff x-1=0\vee x+1=0\iff x\in \left\{1,-1\right\}-\text{m. zerowe}$

Aby wyznaczyć pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, warto pamiętać, że przechodzi przez nią oś symetrii paraboli. Miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii, więc wystarczy policzyć średnią arytmetyczną miejsc zerowych: 

$p=\frac{1+\left(-1\right)}{2}=\frac{0}{2}=0$

Druga współrzędna wierzchołka to wartość, jaka jest osiągana przez funkcję f dla argumentu p: 

$q=f\left(0\right)=2\cdot \left(0-1\right)\cdot \left(0+1\right)=2\cdot \left(-1\right)\cdot 1=-2$

$W=\left(0,-2\right)-\text{wierzchołek}$

 

$f\left(0\right)=-2\Rightarrow \left(0,-2\right)-\text{punkt przec. z OY}$

 

Aby naszkicować wykres korzystamy ze współrzędnych wierzchołka oraz ze współczynnika a: wystarczy przesunąć początek układu współrzędnych o wektor [0, -2] czyli o 2 jednostki w dół i w takim układzie narysować parabolę y=2x². 

 

$D_f=\mathbb{R}$

$Z{W}_f=⟨-2,+\infty )$

$f\left(x\right)=0\iff x\in \left\{-1,1\right\}$

$f\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

$f\left(x\right)<0\iff x\in \left(-1,1\right)$

$f\left(x\right)\uparrow \iff x\in ⟨0,+\infty )$