I SPOSOˊB
Doprowadzamy funkcję do postaci ogólnej wymnażając nawiasy, następnie, dzięki wzorom skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy uzyskujemy postać kanoniczną.
Przypomnijmy te wzory:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
a)
f(x)=(x−1)(x+5)=x2+5x−x−5=p. ogoˊlnax2+4x−5=x2+4x+04−4−5=(x+2)2−4−5=p. kanoniczna(x+2)2−9
b)
f(x)=−(x−6)(x+4)=−(x2+4x−6x−24)= −(x2−2x−24)=p. ogoˊlna−x2+2x+24=
=−(x2−2x+01−1−24)=−((x−1)2−1−24)=−((x−1)2−25)=p. kanoniczna−(x−1)2+25
c)
f(x)=2(x+1)(x+5)=2(x2+5x+x+5)=2(x2+6x+5)=p. ogoˊlna2x2+12x+10=
=2(x2+6x+9−9+5)=2((x+3)2−9+5)=2((x+3)2−4)=p. kanoniczna2(x+3)2−8
d)
f(x)=−21(x+6)(x−26)=−21(x2−26x+6x−156)=p. ogoˊlna−21x2+10x+78=
=−21(x2−20x+100−100−156)=−21((x−10)2−100−156)=−21((x−10)2−256)=p. kanoniczna−21(x−10)2+128
e)
f(x)=53(x−1)(x+5)=53(x2+5x−x−5)=p. ogoˊlna53x2+512x−3=
=53(x2+4x+4−4−5)=53((x+2)2−4−5)=53((x+2)2−9)=p. kanoniczna53(x+2)2−527
f)
f(x)=−32(x−3)(x−4)=−32(x2−4x−3x+12)=p. ogolna−32x2+314x−8=
=−32(x2−7x+12)=−32(x2−2⋅1⋅27+(27)2−(27)2+12)=
=−32((x−27)2−449+448)=−32((x−27)2−41)= p. kanoniczna−32(x−27)+61
Oczywiście mając postać ogólną, można także wyznaczyć postać kanoniczną w "standardowy" sposób, korzystając z poniższych wzorów:
f(x)=ax2+bx+c − p. ogoˊlna, Δ=b2−4ac
p=−2ab, q=−4aΔ, f(x)=a(x−p)2+q − p. kanoniczna
II SPOSOˊB
Oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek paraboli, ma więc równanie x=p.
Mając postać iloczynową, mamy miejsca zerowe, a miejsca zerowe muszą być symetryczne względem osi symetrii, czyli równanie osi symetrii wyznaczymy biorąc średnią arytmetyczna miejsc zerowych:
x1, x2 − m. zerowe ⇒ x=p=2x1+x2 − osˊ symetrii paraboli
Z kolei mając oś symetrii (czyli pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli) możemy obliczyć jego drugą współrzędną, korzystając z tego, że wierzchołek należy do paraboli, czyli wartość przyjmowana dla argumentu p jest równa q:
f(p)=q
Postać kanoniczna dana jest wzorem:
f(x)=a(x−p)2+q
a)
x1=1, x2=−5 ⇒ x=p=21+(−5)=2−4=−2 − osˊ symetrii
q=f(−2)=(−2−1)⋅(−2+5)=−3⋅3=−9
f(x)=(x+2)2−9 − p. kanoniczna
b)
x1=6, x2=−4 ⇒ x=p=26+(−4)=22=1 − osˊ symetrii
q=f(1)=−(1−6)⋅(1+4)=5⋅5=25
f(x)=−(x−1)2+25 − p. kanoniczna
c)
x1=−1, x2=−5 ⇒ x=p=2−1+(−5)=2−6=−3 − osˊ symetrii
q=f(−3)=2⋅(−3+1)⋅(−3+5)=2⋅(−2)⋅2=−8
f(x)=2(x+3)2−8 − p. kanoniczna
d)
x1=−6, x2=26 ⇒ x=p=2−6+26=220=10 − osˊ symetrii
q=f(10)=−21⋅(10+6)⋅(10−26)=−21⋅16⋅(−16)=21⋅256=128
f(x)=−21(x−10)2+128 − p. kanoniczna
e)
x1=1, x2=−5 ⇒ x=p=21+(−5)=2−4=−2 − osˊ symetrii
q=f(−2)=53⋅(−2−1)⋅(−2+5)=53⋅(−3)⋅3=−527
f(x)=53(x+2)2−527 − p. kanoniczna
f)
x1=3, x2=4 ⇒ x=p=23+4=27 − osˊ symetrii
q=f(27)=−32⋅(27−3)⋅(27−4)=−32⋅21⋅(−21)= 61
f(x)=−32(x−27)2+61 − p. kanoniczna
