II liceum

II technikum

III technikum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Mira

Wyznaczamy równanie prostej <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/cf8af651-29d8-467e-b222-ef929ad8e296_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/3e3b4eff-3540-4450-bbdb-0d7d928d5a23_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Wyznaczamy równanie prostej <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/14084c9f-500b-4cb1-a64a-65526a1839fb_small.svg" type="image/svg+xml"></object>   
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/84a48bb9-a161-49cf-beea-64607e7d6618_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/84a48bb9-a161-49cf-beea-64607e7d6618_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c365bf8a-5048-403d-9545-50ea25cf2c91_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/260bceaf-b873-4997-a04c-26beadb36433_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/d0108479-30ef-4533-9762-4a9596de61c4_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/e9cd49b8-79b9-4bf0-a3a3-a068c71da3ff_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/e9cd49b8-79b9-4bf0-a3a3-a068c71da3ff_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Dodajemy równania stronami.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/76e52cb6-ad95-4f4c-b09f-7734233c5591_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/76e52cb6-ad95-4f4c-b09f-7734233c5591_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/fec4c59a-b335-4c93-8755-92c57a790fc5_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/fec4c59a-b335-4c93-8755-92c57a790fc5_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/a40fd0c5-457d-45c2-9906-3c55a311b23a_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Wyznaczamy zbiór rozwiązań nierówności <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/7782eb9c-8b8f-48f3-9ce1-e1f979e18033_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/87255742-3a26-43d8-8406-d9b528d1b7b1_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/e187ced6-0d2f-4bf5-90ec-e5963ca40353_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

a) Wyznaczamy zbiór rozwiązań nierówności <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/9462d213-61b9-4ee6-bab7-d64cf331a91d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/36eba49a-e748-4263-ad8b-7d418c880d41_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/3051a082-14ad-448c-a39b-6e15b75c96ca_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/0d08398f-2bd7-4b1b-a06d-45be586af709_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/1b6c146e-3bef-48d5-a26a-e4d85c70e207_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Aby powyższy zbiór zawierał się w zbiorze <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/edf9ded9-02bb-439a-bb46-24784420d4b2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> musi zachodzić:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/a4ec965a-50d9-41fa-bc1d-a0bea8daefa1_small.svg" type="image/svg+xml"></object>     
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/f91257c8-ac2f-4b5f-80a5-cc7b6ffdbef4_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/9c434fb6-6692-41c4-96a9-8af912ae0e5a_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/9d66b07f-2c53-41fc-96ca-552aa157146e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>   
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/f1940216-8679-42c2-81ae-e519ce6ed83b_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
 
b) Na podstawie poprzedniego podpunktu łatwo ustalić, że zbiorem rozwiązań nierówności <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/b213f1d5-ed48-43f8-a580-56f28171db34_small.svg" type="image/svg+xml"></object> jest zbiór:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/4d8a0643-af8f-4451-a696-9d21bf6f0ebc_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/4d8a0643-af8f-4451-a696-9d21bf6f0ebc_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Aby powyższy zbiór zawierał się w zbiorze <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/b2b2e05d-536a-4ea7-a576-104c90c40164_small.svg" type="image/svg+xml"></object> musi zachodzić:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/e90e9528-fce7-47c3-b87c-393bbf89743c_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/e90e9528-fce7-47c3-b87c-393bbf89743c_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/98226fb9-65d7-4423-9755-6bbc52500470_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/5721718d-fd5e-4173-a4e1-cf5c1de10a00_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/5721718d-fd5e-4173-a4e1-cf5c1de10a00_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/2267685c-50ae-4742-b704-e2d700c8dd5d_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201127/a5e5bf70-9a9e-40ad-9d6a-ed6ec9efae14_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Komentarze