a) Zauważmy, że:
a1=1=99=9101−1
a2=11=999=9100−1=9102−1
a3=111=9999=91 000−1=9103−1
a4=1 111=99 999=910 000−1=9104−1
A więc:
an=910n−1
zatem
S=a1+a2+…+an=9101+102+103+…+10n−n⋅1
- Obliczmy sumę ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie i ilorazie:
b1=10 , q=10
a więc:
Sn=b1⋅1−q1−qn=10⋅1−101−10n=10⋅10−110n−1=910n+1−10
czyli
=9910n+1−10−n=9910n+1−10−99n=8110n+1−9n−10
b) Łatwo zauważyć, że:
3+33+333+…+333…3=3⋅(1+11+111+…+111…1)=3⋅8110n+1−9n−10=2710n+1−9n−10
Komentarze