a) Zauważmy, że:

$a_1=1=\frac{9}{9}=\frac{{10}^1-1}{9}$  

$a_2=11=\frac{99}{9}=\frac{100-1}{9}=\frac{{10}^2-1}{9}$  

$a_3=111=\frac{999}{9}=\frac{1000-1}{9}=\frac{{10}^3-1}{9}$  

$a_4=1111=\frac{9999}{9}=\frac{10000-1}{9}=\frac{{10}^4-1}{9}$  

A więc:

$a_n=\frac{{10}^n-1}{9}$  

zatem

$S=a_1+a_2+\dots +a_n=\frac{{10}^1+{10}^2+{10}^3+\dots +{10}^n-n\cdot 1}{9}$  

• Obliczmy sumę ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie i ilorazie:

$b_1=10,q=10$  

a więc:

$S_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}=10\cdot \frac{1-{10}^n}{1-10}=10\cdot \frac{{10}^n-1}{10-1}=\frac{{10}^{n+1}-10}{9}$  

czyli

$=\frac{\frac{{10}^{n+1}-10}{9}-n}{9}=\frac{\frac{{10}^{n+1}-10}{9}-\frac{9n}{9}}{9}=\frac{{10}^{n+1}-9n-10}{81}$  

b) Łatwo zauważyć, że:

$3+33+333+\dots +333\dots 3=3\cdot \left(1+11+111+\dots +111\dots 1\right)=3\cdot \frac{{10}^{n+1}-9n-10}{81}=\frac{{10}^{n+1}-9n-10}{27}$