Wiemy, że:

$S_n=14760$  

$a_1=5000$  

$a_n=2560$  

Stąd

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

$q^{n-1}=\frac{a_n}{a_1}=\frac{2560}{5000}=\frac{256}{500}=\frac{64}{125}$  

stąd

$\frac{q^n}{q}=\frac{64}{125}$  

$q^n=\frac{64}{125}q$  

Suma wynosi 14760 zł:

$S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$  

$14760=5000\cdot \frac{1-\frac{64}{125}q}{1-q}$  

$14760\left(1-q\right)=5000-2560q$  

$14760-14760q=5000-2560q$  

$9760=12200q\mid :2440$  

$4=5q$  

$q=\frac{4}{5}$  

Iloraz wynosi:

${\left(\frac{4}{5}\right)}^n=\frac{64}{125}\cdot \frac{4}{5}$  

${\left(\frac{4}{5}\right)}^n=\frac{4^3}{5^3}\cdot \frac{4}{5}$  

${\left(\frac{4}{5}\right)}^n={\left(\frac{4}{5}\right)}^4$  

$n=4$  

Były cztery nagrody.

Wiemy, że pierwsza nagroda wynosiła 5000 zł, a ostatnia (czwarta) 2560 zł, więc:

$a_1=5000\left[\text{zł}\right]$  

$a_4=2560\left[\text{zł}\right]$  

Obliczamy wartości pozostałych nagród:

$a_2=5000\cdot \frac{4}{5}=1000\cdot 4=4000\left[\text{zł}\right]$  

$a_3=a_2\cdot q=4000\cdot \frac{4}{5}=800\cdot 4=3200\left[\text{zł}\right]$