Udowodnij, że trzy liczby...- Zadanie 7.104: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Skoro liczby a, b, c tworzą ciąg geometryczny to:

$b = a q, c = a q^{2}$

$a) L = (a + b + c) (a - b + c) = (a + a q + a q^{2}) (a - a q + a q^{2}) = (a + a q^{2} + a q) (a + a q^{2} - a q) = (a + a q^{2})^{2} - (a q)^{2} = a^{2} + 2 a \cdot a q^{2} + a^{2} q^{4} - a^{2} q^{2} = a^{2} (1 + 2 q^{2} + q^{4} - q^{2}) = a^{2} (1 + q^{2} + q^{4}) = a^{2} + a^{2} q^{2} + a^{2} q^{4} = a^{2} + (a q)^{2} + (a q^{2})^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} = P$

$b) L = a^{2} b^{2} c^{2} (\frac{1}{a ^{3}} + \frac{1}{b ^{3}} + \frac{1}{c ^{3}}) = \frac{b ^{2} c ^{2}}{a} + \frac{a ^{2} c ^{2}}{b} + \frac{a ^{2} b ^{2}}{c} = \frac{( a q ) ^{2} \cdot ( a q ^{2} ) ^{2}}{a} + \frac{a ^{2} \cdot ( a q ^{2} ) ^{2}}{a q} + \frac{a ^{2} \cdot ( a q ) ^{2}}{a q ^{2}} = \frac{a ^{2} q ^{2} \cdot a ^{2} q ^{4}}{a} + \frac{a ^{2} \cdot a ^{2} \cdot q ^{4}}{a q} + \frac{a ^{2} \cdot a ^{2} \cdot q ^{2}}{a q ^{2}} = a^{3} q^{6} + a^{3} q^{3} + a^{3} = a^{3} + (a q)^{3} + (a q^{2})^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} = P$

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.