Założenia:

$x\ne -1$  

 

Zauważmy, że jeżeli m = ¹/₂ to lewa strona równania jest równa 0 a więc równanie będzie miało rozwiązanie, ponieważ:

$0=\frac{x+5}{2}$  

czyli:

$x=-5$  

Dla m ≠ ¹/₂ :

$\frac{2m-1}{x+1}-\frac{x+5}{2}=0$  

$\frac{2\left(2m-1\right)-\left(x+1\right)\left(x+5\right)}{2\left(x+1\right)}=0$  

$\frac{4m-2-\left(x^2+6x+5\right)}{2\left(x+1\right)}=0$  

$4m-2-x^2-6x-5=0$  

$-x^2-6x+4m-7=0$  

Zauważmy, że jeśli x=-1 to m=¹/₂, zatem nie musimy sprawdzać przypadku wyróżnik większy od 0, a jedno rozwiązanie to -1.

Równanie ma jedno rozwiązanie gdy wyróżnik funkcji jest równy 0.

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(4m-7\right)=36+16m-28=16m+8$  

A więc

$16m+8=0$  

$16m=-8$  

$m=-\frac{1}{2}$  

 

Równanie początkowe ma jedno rozwiązanie gdy

$m\in \left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}$