Założenia:

$m-5\ne 0\Rightarrow m\ne 5$  

 

Sprawdźmy co się dzieje gdy m = 1

$0\cdot x^2-2\left(1+2\right)x+1+4=0$  

$-6x+5=0$  

$6x=5$  

$x=\frac{5}{6}$  

Jeżeli równanie nie ma rozwiązań to:

$1)\Delta <0$  

 

$\Delta ={\left(-2\left(m+2\right)\right)}^2-4\cdot \frac{m-1}{m-5}\cdot \left(m+4\right)=4{\left(m+2\right)}^2-4\cdot \frac{\left(m-1\right)\left(m+4\right)}{m-5}=\frac{4\left(m^2+4m+4\right)\left(m-5\right)}{m-5}-\frac{4\left(m^2+3m-4\right)}{m-5}=\frac{4\left(m^3-5m^2+4m^2-20m+4m-20\right)-4m^2-12m+16}{m-5}=\frac{4m^3-4m^2-64m-80-4m^2-12m+16}{m-5}=\frac{4m^3-8m^2-76m-64}{m-5}$  

 

Zatem

$\frac{4m^3-8m^2-76m-64}{m-5}<0$  

$\frac{4m^3+4m^2-12m^2-12m-64m-64}{m-5}<0$  

$\frac{4m^2\left(m+1\right)-12m\left(m+1\right)-64\left(m+1\right)}{m-5}<0$  

$\frac{\left(m+1\right)\left(4m^2-12m-64\right)}{m-5}<0$  

$\frac{4\left(m+1\right)\left(m^2-3m-16\right)}{m-5}<0\mid :4$  

$\frac{\left(m+1\right)\left(m^2-3m-16\right)}{m-5}<0$  

$\left(m+1\right)\left(m-5\right)\left(m^2-3m-16\right)<0$  

Obliczmy wyróżnik trójmianu:

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-16\right)=9+64=73$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{73}$  

$m_1=\frac{3-\sqrt{73}}{2}\vee m_2=\frac{3+\sqrt{73}}{2}$  

$m\in \left(\frac{3-\sqrt{73}}{2},-1\right)\cup \left(5,\frac{3+\sqrt{73}}{2}\right)$