Dziedzina:

$x\ne -3$  

---

Dla  m = -2 dostajemy

$0=\frac{x-1}{4}\mid \cdot 4$

$0=x-1$

$1=x$    

równanie ma jedno rozwiązanie, więc warunki zadania są spełnione.

---

Dla m ≠ -2  otrzymujemy

$\frac{m+2}{x+3}-\frac{x-1}{4}=0$  

$\frac{4\left(m+2\right)}{4\left(x+3\right)}-\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{4\left(x+3\right)}=0$  

$\frac{4m+8-\left(x^2+2x-3\right)}{4\left(x+3\right)}=0$  

$4m+8-x^2-2x+3=0$  

$-x^2-2x+4m+11=0$  

Równanie ma jedno rozwiązanie gdy (1) △ = 0 lub (2) △ > 0 i jednym z miejsc zerowych jest liczba -3. 

Ad.1) 

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(4m+11\right)=4+4\left(4m+11\right)=4+16m+44=16m+48=16\left(m+3\right)$  

stąd

$16\left(m+3\right)=0\mid :16$  

$m+3=0$  

$m=-3$  

Ad.2) 

Korzystając z obliczeń z przypadku 1) mamy 

$\Delta >0$  

$16\left(m+3\right)>0$

$\underline{m>-3}$   

Wyznaczmy pierwiastki równania:

$\sqrt{\Delta }=4\sqrt{m+3}$  

$x_1=\frac{2-4\sqrt{m+3}}{-2}=2\sqrt{m+3}-1$

$x_2=\frac{2+4\sqrt{m+3}}{-2}=-2\sqrt{m+3}-1$    

Jedno z otrzymanych miejsc zerowych ma być równe -3, skąd otrzymujemy 

$2\sqrt{m+3}-1=-3\vee -2\sqrt{m+3}-1=-3$  

$2\sqrt{m+3}=-2\left|:\left(-2\right)-2\sqrt{m+3}=-2\right|:\left(-2\right)$  

$\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{\sqrt{m+3}=-1}\sqrt{m+3}=1$  

$m+3=1$  

$m=-2$  

---

Podsumowując równanie początkowe ma jedno rozwiązanie dla:

$m\in \left\{-3,-2\right\}$