Przypomnijmy definicję pierwiastka  $k-$ krotnego:

Pierwiastkiem   $k-$ krotnym wielomianu  $W\left(x\right),$  gdzie  $k\in {\mathbf{N}}_{+},$  nazywamy liczbę  $a$  wtedy i tylko wtedy,

gdy wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez  ${\left(x-a\right)}^k$  i nie jest podzielny przez  ${\left(x-a\right)}^{k+1}.$  

Liczbę  $k$   nazywamy krotnością pierwiastka.

 

$\text{a)}W\left(x\right)=6x^3+3x^2+10x+5,r=-\frac{1}{2}$  

Obliczamy:

$W\left(r\right)=W\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{6}{8}+\frac{3}{4}-5+5=-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=0$  

Liczba  $r=-\frac{1}{2}$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x+\frac{1}{2}\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x+\frac{1}{2}\right)$  algorytmem Hornera:

	$6$	$3$	$10$	$5$
$-\frac{1}{2}$		$-3$	$0$	$-5$
	$6$	$0$	$10$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=6x^3+3x^2+10x+5$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x+\frac{1}{2}$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=6x^2+10.$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  możemy zapisać następująco: