Wykaż, że liczby...- Zadanie 5.114: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) W (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6, r_{1} = - 2, r_{2} = 3$

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba $r$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ wtedy i tylko wtedy,

gdy $W (r) = 0 .$

Obliczamy:

$W (r_{1}) = W (- 2) = - 16 - 12 + 22 + 6 = 0$

$W (r_{2}) = W (3) = 54 - 27 - 33 + 6 = 0$

Pokazaliśmy, że liczby $r_{1} = - 2, r_{2} = 3$ są pierwiastkami wielomianu $W (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumiany $(x + 2)$ oraz $(x - 3) .$

Wykonajmy dzielenie $W (x) : (x + 2)$ algorytmem Hornera:

	$2$	$- 3$	$- 11$	$6$
$- 2$		$- 4$	$14$	$- 6$
	$2$	$- 7$	$3$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $W (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ przez dwumian $P (x) = x + 2$

otrzymaliśmy iloraz $Q (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x + 2) (2 x^{2} - 7 x + 3)$

Pamiętamy, że wielomian $W (x)$ jest również podzielny przez dwumian $(x - 3) .$

Wynika stąd, że wielomian $Q (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x - 3) .$

Wykonajmy dzielenie $Q (x) : (x - 3)$ algorytmem Hornera:

	$2$	$- 7$	$3$
$3$		$6$	$- 3$
	$2$	$- 1$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $Q (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ przez dwumian $S (x) = x - 3$

otrzymaliśmy iloraz $T (x) = 2 x - 1 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x + 2) (x - 3) (2 x - 1)$

Szukamy pierwiastków wielomianu $W (x) :$

$W (x) = 0$

$(x + 2) (x - 3) (2 x - 1) = 0$

$x + 2 = 0 \lor x - 3 = 0 \lor 2 x - 1 = 0$

$x = - 2 \lor x = 3 \lor x = \frac{1}{2}$

Odp. Pozostały pierwiastek wielomianu $W (x)$ to: $\frac{1}{2} .$

$b) W (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 2, r_{1} = \frac{2}{3}, r_{2} = 1$

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba $r$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ wtedy i tylko wtedy,

gdy $W (r) = 0 .$

Obliczamy:

$W (r_{1}) = W (\frac{2}{3}) = 3 \cdot \frac{8}{27} - 2 \cdot \frac{4}{9} - 3 \cdot \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{9} - \frac{8}{9} - 2 + 2 = 0$

$W (r_{2}) = W (1) = 3 - 2 - 3 + 2 = 0$

Pokazaliśmy, że liczby $r_{1} = \frac{2}{3}, r_{2} = 1$ są pierwiastkami wielomianu $W (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumiany $(x - \frac{2}{3})$ oraz $(x - 1) .$

Wykonajmy dzielenie $W (x) : (x - \frac{2}{3})$ algorytmem Hornera:

	$3$	$- 2$	$- 3$	$2$
$\frac{2}{3}$		$2$	$0$	$- 2$
	$3$	$0$	$- 3$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $W (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 2$ przez dwumian $P (x) = x - \frac{2}{3}$

otrzymaliśmy iloraz $Q (x) = 3 x^{2} - 3 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x - \frac{2}{3}) (3 x^{2} - 3)$

Pamiętamy, że wielomian $W (x)$ jest również podzielny przez dwumian $(x - 1) .$

Wynika stąd, że wielomian $Q (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x - 1) .$

Wykonajmy dzielenie $Q (x) : (x - 1)$ algorytmem Hornera:

	$3$	$0$	$- 3$
$1$		$3$	$3$
	$3$	$3$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $Q (x) = 3 x^{2} - 3$ przez dwumian $S (x) = x - 1$

otrzymaliśmy iloraz $T (x) = 3 x + 3 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x - \frac{2}{3}) (x - 1) (3 x + 3)$

Szukamy pierwiastków wielomianu $W (x) :$

$W (x) = 0$

$(x - \frac{2}{3}) (x - 1) (3 x + 3) = 0$

$x - \frac{2}{3} = 0 \lor x - 1 = 0 \lor 3 x + 3 = 0$

$x = \frac{2}{3} \lor x = 1 \lor x = - 1$

Odp. Pozostały pierwiastek wielomianu $W (x)$ to: $- 1 .$

$c) W (x) = 6 x^{4} + 19 x^{3} + 14 x^{2} - x - 2, r_{1} = - 2, r_{2} = - 1$

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba $r$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ wtedy i tylko wtedy,

gdy $W (r) = 0 .$

Obliczamy:

$W (r_{1}) = W (- 2) = 96 - 152 + 56 + 2 - 2 = 0$

$W (r_{2}) = W (- 1) = 6 - 19 + 14 + 1 - 2 = 0$

Pokazaliśmy, że liczby $r_{1} = - 2, r_{2} = - 1$ są pierwiastkami wielomianu $W (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumiany $(x + 2)$ oraz $(x + 1) .$

Wykonajmy dzielenie $W (x) : (x + 2)$ algorytmem Hornera:

	$6$	$19$	$14$	$- 1$	$- 2$
$- 2$		$- 12$	$- 14$	$0$	$2$
	$6$	$7$	$0$	$- 1$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $W (x) = 6 x^{4} + 19 x^{3} + 14 x^{2} - x - 2$ przez dwumian $P (x) = x + 2$

otrzymaliśmy iloraz $Q (x) = 6 x^{3} + 7 x^{2} - 1 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x + 2) (6 x^{3} + 7 x^{2} - 1)$

Pamiętamy, że wielomian $W (x)$ jest również podzielny przez dwumian $(x + 1) .$

Wynika stąd, że wielomian $Q (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x + 1) .$

Wykonajmy dzielenie $Q (x) : (x + 1)$ algorytmem Hornera:

	$6$	$7$	$0$	$- 1$
$- 1$		$- 6$	$- 1$	$1$
	$6$	$1$	$- 1$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $Q (x) = 6 x^{3} + 7 x^{2} - 1$ przez dwumian $S (x) = x + 1$

otrzymaliśmy iloraz $T (x) = 6 x^{2} + x - 1 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x + 2) (x + 1) (6 x^{2} + x - 1)$

Szukamy pierwiastków wielomianu $W (x) :$

$W (x) = 0$

$(x + 2) (x + 1) (6 x^{2} + x - 1) = 0$

$x + 2 = 0 \lor x + 1 = 0 \lor Δ = 1 + 24 = 25 6 x^{2} + x - 1 = 0$

$x = - 2 \lor x = - 1 \lor x = \frac{- 1 - 5}{12} = - \frac{1}{2} \lor x = \frac{- 1 + 5}{12} = \frac{1}{3}$

Odp. Pozostałymi pierwiastkami wielomianu $W (x)$ są: $- \frac{1}{2}, \frac{1}{3} .$

$d) W (x) = 2 x^{4} - 9 x^{3} + 12 x^{2} - 9 x + 10, r_{1} = 2, r_{2} = \frac{5}{2}$

Z twierdzenia Bezouta wiemy, że liczba $r$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ wtedy i tylko wtedy,

gdy $W (r) = 0 .$

Obliczamy:

$W (r_{1}) = W (2) = 32 - 72 + 48 - 18 + 10 = 0$

$W (r_{2}) = W (\frac{5}{2}) = 2 \cdot \frac{625}{16} - 9 \cdot \frac{125}{8} + 12 \cdot \frac{25}{4} - 9 \cdot \frac{5}{2} + 10 = \frac{625}{8} - \frac{1125}{8} + 75 - \frac{45}{2} + 10 =$

$= - \frac{500}{8} - \frac{180}{8} + 85 = - \frac{680}{8} + 85 = - 85 + 85 = 0$

Pokazaliśmy, że liczby $r_{1} = 2, r_{2} = \frac{5}{2}$ są pierwiastkami wielomianu $W (x) .$

Oznacza to, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumiany $(x - 2)$ oraz $(x - \frac{5}{2}) .$

Wykonajmy dzielenie $W (x) : (x - 2)$ algorytmem Hornera:

	$2$	$- 9$	$12$	$- 9$	$10$
$2$		$4$	$- 10$	$4$	$- 10$
	$2$	$- 5$	$2$	$- 5$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $W (x) = 2 x^{4} - 9 x^{3} + 12 x^{2} - 9 x + 10$ przez dwumian $P (x) = x - 2$

otrzymaliśmy iloraz $Q (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 5 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x - 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 5)$

Pamiętamy, że wielomian $W (x)$ jest również podzielny przez dwumian $(x - \frac{5}{2}) .$

Wynika stąd, że wielomian $Q (x)$ jest podzielny przez dwumian $(x - \frac{5}{2}) .$

Wykonajmy dzielenie $Q (x) : (x - \frac{5}{2})$ algorytmem Hornera:

	$2$	$- 5$	$2$	$- 5$
$\frac{5}{2}$		$5$	$0$	$5$
	$2$	$0$	$2$	$0$

W wyniku dzielenia wielomianu $Q (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 5$ przez dwumian $S (x) = x - \frac{5}{2}$

otrzymaliśmy iloraz $T (x) = 2 x^{2} + 2 .$

Wielomian $W (x)$ możemy zapisać następująco:

$W (x) = (x - 2) (x - \frac{5}{2}) (2 x^{2} + 2)$

Zauważmy, że trójmian $T (x) = 2 x^{2} + 2$ nie ma pierwiastków, bo $Δ < 0 .$

Wynika stąd, że nie istnieją inne pierwiastki wielomianu $W (x) .$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.