a) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. 

$a=4$   

Obliczamy, ile wynosi długość przekątnej podstawy. 

$d=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$   

Obliczamy, ile wynosi połowa długości przekątnej podstawy. 

$\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$   

Połowa przekątnej podstawy, krawędź boczna oraz wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość wysokości ostrosłupa (H). 

${\left(2\sqrt{2}\right)}^2+H^2=4^2$  

$8+H^2=16\mid -8$  

$H^2=8$  

$H=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

Wysokość ostrosłupa ma długość 2√2.

Obliczamy, ile wynosi objętość ostrosłupa.

$\underline{\underline{V}}=\frac{1}{3}\cdot 4^2\cdot 2\sqrt{2}=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 2\sqrt{2}=\underline{\underline{\frac{32\sqrt{2}}{3}}}$  

 

b) Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku 4. 

$a=4$  

Wysokość ściany bocznej ma długość 4.

$h=4$  

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość wysokości ostrosłupa. 

$2^2+H^2=4^2$  

$4+H^2=16\mid -4$  

$H^2=12$  

$H=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$  

Wysokość ostrosłupa ma długość 2√3.

Obliczamy, ile wynosi objętość ostrosłupa.

$\underline{\underline{V}}=\frac{1}{3}\cdot 4^2\cdot 2\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 2\sqrt{3}=\underline{\underline{\frac{32\sqrt{3}}{3}}}$