III gimnazjum

Matematyka na czasie! 3

Matematyka

Liczy się matematyka 3

Matematyka 2001

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 1

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka 3. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka 3. Zeszyt zadań

Matematyka wokół nas 3

Matematyka wokół nas 3. Zeszyt ćwiczeń cz. 1

Matematyka wokół nas 3. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka z plusem 3

Matematyka z plusem 3. Zbiór zadań 2001

Policzmy to razem 3

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 
<img class="img-responsive img-thumbnail dropzone-img" src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/95314/zad._2022_2C_20str._2062.jpg" width="250" height="205">
Przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym. Oznacza to, że średnica podstawy ma taką samą długość jak tworząca stożka. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/e8f620fc-e0df-411a-9329-6df30ce58078_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Pole przekroju osiowego wynosi √3. Zatem: 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/be757807-7e9a-4760-959b-67657727e4d1_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/be757807-7e9a-4760-959b-67657727e4d1_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/5112ae36-1fd1-49a5-a8a1-c2f6ade30ab5_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Papierowe koło ma promień długości 18 cm.
Dzielimy go na dwie części. Kąt środkowy jednej z nich wynosi 120o. Kąt środkowy drugiej części ma więc miarę: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/5dc20bb4-d639-4092-b2d8-0fec0dec183e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 I część: 
Obliczamy, ile wynosi długość łuku tego wycinka. 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/a0e62893-e9ab-4a07-86dc-0245d8a26246_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/a0e62893-e9ab-4a07-86dc-0245d8a26246_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Z wycinka tego tworzymy stożek (jego powierzchnię boczną). Obwód podstawy tego stożka jest równy długości łuku tego wycinka, czyli wynosi 12π cm.
Obliczamy, ile długość promienia podstawy. 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/4250fef1-0d34-4e25-8f34-141ea5b37b39_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/4250fef1-0d34-4e25-8f34-141ea5b37b39_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/2a85922f-d561-44f6-9f48-69a5317d35a5_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Promień podstawy tego stożka ma długość 6 cm. 
Tworząca stożka ma długość 18 cm. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/180bcf0b-2c7f-45fd-af04-fcb25bb9956a_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Przyjmijmy oznaczenia: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/9d78cfdf-6a09-4f22-8a75-bb34618c322e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  - długość promienia podstawy
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/49cfc121-961d-4ab8-87a9-01c91284dff4_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  - długość wysokości
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/be611d26-d6b8-4091-aa94-80f2af9e20d9_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  - długość tworzącej stożka 
 Wiemy, że tworząca stożka ma długość 15 cm. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/97224232-857b-4d40-bb80-33370f5cd721_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Objętość stożka wynosi 324π. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/6b7541c8-be88-4fb8-8f35-f4b224997b70_small.svg" type="image/svg+xml"></object>     
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać równość: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/46c6dc8b-95f4-4f37-8e5d-649607952de6_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/bc842b6f-d3dc-4c0c-89f6-c728d4ea95d7_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/06caf120-7c70-4418-9ede-d66bf6537d27_small.svg" type="image/svg+xml"></object>     Szukamy takiej długości promienia i wysokości, aby spełniały powyższy warunek. 
Wiemy, że zarówno długość promienia, jak i wysokości, są wyrażone liczbami całkowitymi. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f5cc8eb8-6119-4a78-81a6-e0db93b2d533_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/0ec28146-d63c-425d-9b96-3895a4dd34e2_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/0ec28146-d63c-425d-9b96-3895a4dd34e2_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Sprawdzamy, czy dla r=9 i H=12 objętość stożka wynosi 324π.   
Pytam, stąd znak zapytania nad znakiem równości, czy dla r=9 i H=12 objętość stożka wynosi 324π.  
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/7f6f9f70-9e2d-42b5-8239-24a484612524_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/7f6f9f70-9e2d-42b5-8239-24a484612524_small.svg" type="image/svg+xml"></object>   
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/8640a98c-21ca-4a30-b5c3-a2442b534688_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/2b56faa6-bedb-4fe0-ba6f-bb4344c594a6_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/2b56faa6-bedb-4fe0-ba6f-bb4344c594a6_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/12fe083e-b99b-4d19-994a-bc6131660910_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  (prawa strona równania jest równa lewej stronie równania)
Oznacza to, że dla r=9 i H=12 objętość stożka wynosi 324π.    
 Odpowiedź: Promień podstawy ma długość 9 (r=9), a jego wysokość ma długość 12 (H=12).

Tworząca stożka jest 4 razy dłuższa od promienia podstawy. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/347c64f9-0828-4ef1-9731-2abdb0ce2734_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Zapisujemy, ile wynosi pole podstawy stożka. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/0c25cb62-e327-4156-8771-4743c8b07ab8_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Wyjściowy stożek: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/9d78cfdf-6a09-4f22-8a75-bb34618c322e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  - długość promienia podstawy
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/be611d26-d6b8-4091-aa94-80f2af9e20d9_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  - długość tworzącej stożka
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/49cfc121-961d-4ab8-87a9-01c91284dff4_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  - długość wysokości    
Objętość tego stożka wynosi: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/996c0e0a-edb1-42d4-a042-ade9bb0e194c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Pole powierzchni całkowitej tego stożka wynosi: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/81731712-8dff-4947-a03e-740e71076ca3_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Wyjściowy stożek: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/9d78cfdf-6a09-4f22-8a75-bb34618c322e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  - długość promienia podstawy 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/49cfc121-961d-4ab8-87a9-01c91284dff4_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  - długość wysokości stożka
Objętość tego stożka wynosi: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/996c0e0a-edb1-42d4-a042-ade9bb0e194c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Nowy stożek: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/95342ab3-238a-4432-abf5-002090623bfd_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Pole podstawy stożka jest równe <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/39aab394-86f0-40cd-9335-0b58819fbbf2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> . 
Promień podstawy tego stożka ma długość: 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/161626e3-6a9c-4158-8858-8bd2257d0299_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/161626e3-6a9c-4158-8858-8bd2257d0299_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/252eec90-60af-4637-9dc1-325c854d2184_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku - przekrój osiowy świeczki: 
<img class="img-responsive img-thumbnail dropzone-img" src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/95548/zad._2029_2C_20str._2062.jpg"> Niebieski odcinek jest równoległy do podstawy trójkąta. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/14526840-e689-485a-b145-65943669e286_small.svg" type="image/svg+xml"></object>    
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/16756cd0-bc2e-43a3-a889-ec8de529de04_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/d65f17b0-033e-408c-b098-07e6c7a84c78_small.svg" type="image/svg+xml"></object>     (kąty odpowiadające)    
Trójkąty ECD i EAB są więc podobne (cecha kąt-kąt-kąt). 
 Korzystając z podobieństwa trójkątów mamy: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c3018630-5800-4bd4-a829-b3540781957d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/29a703e1-dc4c-4a1c-b0f4-0fc3e3e26007_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c9844ec2-bf8f-4f01-b5bc-7cbde77b412b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/b40b8a13-c32c-4b7d-ab9f-c3d325931253_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Odcinek oznaczony literą x jest 2 razy krótszy od promienia podstawy stożka. 
 Zapisujemy objętość tej części świeczki, która spaliła się w ciągu 20 minut (świeczka spaliła się do połowy wysokości). 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/9084cabe-426e-4e84-a501-41dbe624210c_small.svg" type="image/svg+xml"></object>    
 Zapisujemy objętość tej części świeczki, która pozostała i może się jeszcze spalić.
Objętość tej części świeczki jest równa różnicy objętości całej świeczki i spalonej części świeczki. 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/d96c70b4-159c-45dd-b395-52f9c09e1aa5_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/d96c70b4-159c-45dd-b395-52f9c09e1aa5_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
 Wiemy, że części świeczki o objętości V1 spaliła się w czasie 20 min.   
Objętość pozostałej części świeczki (V2) jest 7 razy większa od objętości spalonej części, czyli na jej spalenie potrzeba 7 razy więcej czasu. 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/891bbb9b-61d2-4ce1-bd27-409de6e85341_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/891bbb9b-61d2-4ce1-bd27-409de6e85341_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Na spalenie pozostałej części świeczki potrzeba 2 h 20 min, czyli więcej niż 2 h. 
 Odpowiedź: W ciągu następnych dwóch godzin świeczka nie wypali się do końca.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 
<img class="img-responsive img-thumbnail dropzone-img" src="https://odrabiamy.pl//uploads/exercise_photo/image/95560/zad._2030_2C_20str._2062.jpg" width="375" height="387">
W wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jego przeciwprostokątnej powstają dwa stożka połączone podstawami. 
Promienie podstaw tych stożków mają taką samą długość. 
Tworząca jednego ze stożków (l) ma długość 15 cm, a tworząca drugiego stożka (L) ma długość 20 cm. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/92e0a14c-3703-4eec-b926-3089183c08e2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f0f12244-9c0f-4991-83ac-8505512bcd1a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość przeciwprostokątnej trójkąty, który obracaliśmy. 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/154c4582-2ffa-4486-ba37-7620496bcbbe_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/2d2ea867-19ea-4f86-a757-a32f062d4331_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Zauważmy, że średnica podstawy stożka ma taką samą długość jak krawędź sześcianu, czyli: 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/06dfcdf6-3677-4b56-a741-ce9bca0fe996_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Promień podstawy stożka ma więc długość:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/a74e803e-c456-497f-b7cd-75ce24e2d44e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/72fbbcae-9c11-4809-a92b-07c29ca56344_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Komentarze