Wykonujemy rysunek pomocniczy:

Figura, która powstała po połączeniu środków okręgów wpisanych w trójkąty ABC, BCD, CDA oraz DAB jest prostokątem.

Zauważmy, że wierzchołki otrzymanego prostokąta EFGH są oddalone od boków prostokąta ABCD o długość równą długości promienia.

Wykonajmy rysunek trójkąta DAB wraz z okręgiem wpisanym w niego:

Z treści zadania wiemy, że wyjściowy prostokąt ma wymiary 8 cm x 15 cm.

Boki AB, DB oraz DA są styczne do okręgu, więc korzystając z tw. o odcinkach stycznych możemy przyjąć oznaczenia jak na rysunku.

Obliczmy długość odcinka DB (korzystając z tw. Pitagorasa):

${\left|DB\right|}^2={\left|AD\right|}^2+{\left|AB\right|}^2$  

${\left|DB\right|}^2={15}^2+8^2$  

${\left|DB\right|}^2=225+64=289$  

$\left|DB\right|=\sqrt{289}=17\left[\text{cm}\right]$  

 

Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{array}{l}x+z=15\\ x+y=8\\ y+z=17\end{array}$