Obliczamy długość boku trójkąta równobocznego o polu 16 cm²:

$16=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\mid \cdot 4$

$64=a^2\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$ $64=a^2\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$

$a^2=\frac{64}{\sqrt{3}}$

$a=\sqrt{\frac{64}{\sqrt{3}}}=\frac{8}{\sqrt{\sqrt{3}}}\left[\text{cm}\right]$  

 

Obliczamy wysokość trójkąta równobocznego:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{{\sout{8}}^4}{\sqrt{\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}}}\left[\text{cm}\right]$   

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny stanowi ¹/₃ jego wysokości:

$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}}}=\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{\sqrt{3}}}\left[\text{cm}\right]$   

 

Obliczamy pole koła o uzyskanym promieniu:

$P=\pi r^2=\pi \cdot {\left(\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{\sqrt{3}}}\right)}^2=\pi \cdot \frac{{\sout{48}}^{16}}{{\sout{9}}^3\sqrt{3}}=\frac{16\pi }{3\sqrt{3}}\left[{\text{cm}}^2\right]$    

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$P=\frac{16\pi }{3\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}\pi }{9}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

 

Odp: Pole koła wpisanego w trójkąt jest równe ^16√3π/₉ cm².