$a)$  

$\left|\left|x-7\right|+1\right|<6$  

$-6<\left|x-7\right|+1<6\mid -1$  

$-7<\left|x-7\right|<5$  

Muszą więc zachodzić jednocześnie obie nierówności:

$\left|x-7\right|>-7\text{i}\left|x-7\right|<5$  

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Pierwsza nierówność jest więc spełniona zawsze - przez dowolną liczbę rzeczywistą.

Wystarczy więc rozwiązać wyłącznie drugą nierówność.

$\left|x-7\right|<5$  

$-5<x-7<5\mid +7$  

$2<x<12$  

$\underline{\underline{x\in \left(2;12\right)}}$  

$\underline{}$  

$b)$  

$\left|2\cdot \right|3-x\left|-6\right|\le 2$  

$-2\le 2\cdot \left|3-x\right|-6\le 2\mid +6$  

$4\le 2\cdot \left|3-x\right|\le 8\mid :2$  

$2\le \left|3-x\right|\le 4$  

 

Musimy więc rozwiązać dwie nierówności:

$\left|3-x\right|\ge 2\text{i}\left|3-x\right|\le 4$  

Rozwiążmy pierwszą nierówność:

$\left|3-x\right|\ge 2$  

$3-x\le -2\left|-3\text{lub}3-x\ge 2\right|-3$  

$-x\le -5\left|\cdot \left(-1\right)\text{lub}-x\ge -1\right|\cdot \left(-1\right)$  

$x\ge 5\text{lub}x\le 1$  

$x\in (-\infty ;1⟩\cup ⟨5;+\infty )$  



Rozwiążmy drugą nierówność:

$\left|3-x\right|\le 4$  

$-4\le 3-x\le 4\mid -3$  

$-7\le x\le 1\mid \cdot \left(-1\right)$  

$7\ge x\ge -1$  

$x\in ⟨-1;7⟩$  


Zatem częścią wspólną rozwiązań tych dwóch nierówności jest zbiór:

$\underline{\underline{x\in ⟨-1;1⟩\cup ⟨5;7⟩}}$  

$\underline{}$  

$c)$  

$\left|7-\right|\frac{1}{2}x-2\mid \mid >3$  

$7-\left|\frac{1}{2}x-2\right|<-3\left|-7\text{lub}7-\right|\frac{1}{2}x-2\left|>3\right|-7$   

$-\left|\frac{1}{2}x-2\right|<-10\left|\cdot \left(-1\right)\text{lub}-\right|\frac{1}{2}x-2\left|>-4\right|\cdot \left(-1\right)$     

$\left|\frac{1}{2}x-2\right|>10\text{lub}\left|\frac{1}{2}x-2\right|<4$    

$\left(\frac{1}{2}x-2<-10\left|+2\text{lub}\frac{1}{2}x-2>10\right|+2\right)\text{lub}-4<\frac{1}{2}x-2<4\mid +2$  

$\left(\frac{1}{2}x<-8\left|\cdot 2\text{lub}\frac{1}{2}x>12\right|\cdot 2\right)\text{lub}-2<\frac{1}{2}x<6\mid \cdot 2$     

$\left(x<-16\text{lub}x>24\right)\text{lub}-4<x<12$  

$x\in \left(-\infty ;-16\right)\cup \left(24;+\infty \right)\text{lub}x\in \left(-4;12\right)$  

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ;-16\right)\cup \left(-4;12\right)\cup \left(24;+\infty \right)}}$     

 

$\underline{}$  

$d)$  

$\left|\left|5x+2\right|-3\right|\ge 4$  

$\left|5x+2\right|-3\le -4\left|+3\text{lub}\right|5x+2\left|-3\ge 4\right|+3$  

$\left|5x-2\right|\le -1\text{lub}\left|5x+2\right|\ge 7$  

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, więc pierwsza nierówność nie ma rozwiązań.
Między nierównościami stoi spójnik "lub", więc wystarczy, że rozwiążemy drugą nierówność.

$\left|5x+2\right|\ge 7$  

$5x+2\le -7\left|-2\text{lub}5x+2\ge 7\right|-2$  

$5x\le -9\left|:5\text{lub}5x\ge 5\right|:5$  

$x\le -\frac{9}{5}\text{lub}x\ge 1$  

$\underline{\underline{x\in (-\infty ;-\frac{9}{5}⟩\cup ⟨1;+\infty )}}$    
                                                                                                                                                   $e)$  

$e\text{)}\left|\sqrt{0,16x^2-4x+25}-2\right|<3$  

$\left|\sqrt{{\left(0,4x-5\right)}^2}-2\right|<3$  

$\left|\left|0,4x-5\right|-2\right|<3$  

$-3<\left|0,4x-5\right|-2<3\mid +2$  

$-1<\left|0,4x-5\right|<5$  

Muszą więc zachodzić jednocześnie obie nierówności:

$\left|0,4x-5\right|>-1\text{i}\left|0,4x-5\right|<5$  

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.
Pierwsza nierówność jest więc spełniona zawsze - przez dowolną liczbę rzeczywistą.

 

Wystarczy więc rozwiązać wyłącznie drugą nierówność.

$\left|0,4x-5\right|<5$  

$-5<0,4x-5<5\mid +5$  

$0<0,4x<10\mid \cdot 10$  

$0<4x<100\mid :4$  

$0<x<25$  

$\underline{\underline{x\in \left(0;25\right)}}$  

 

$\underline{}$  

$f)$  

$7-\left|3-2\cdot \right|11-3x\mid \left|<2\right|-7$  

$-\left|3-2\cdot \right|11-3x\mid \left|<-5\right|\cdot \left(-1\right)$  

$\left|3-2\cdot \right|11-3x\mid \mid >5$  

$3-2\cdot \left|11-3x\right|<-5\left|-3\text{lub}3-2\cdot \right|11-3x\left|>5\right|-3$  

$-2\cdot \left|11-3x\right|<-8\left|:\left(-2\right)\text{lub}-2\cdot \right|11-3x\left|>2\right|:\left(-2\right)$  

$\left|11-3x\right|>4\text{lub}\left|11-3x\right|<-1$       

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, więc druga nierówność nie ma rozwiązań.
Między nierównościami stoi spójnik "lub", więc wystarczy, że rozwiążemy pierwszą nierówność.

$\left|11-3x\right|>4$  

$11-3x<-4\left|-11\text{lub}11-3x>4\right|-11$   

$-3x<-15\left|:\left(-3\right)\text{lub}-3x>-7\right|:\left(-3\right)$  

$x>5\text{lub}x<\frac{7}{3}$  

$x>5\text{lub}x<2\frac{1}{3}$    

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ;2\frac{1}{3}\right)\cup \left(5;+\infty \right)}}$