Korzystamy ze wzorów:

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$  

${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

 

 

$\text{a)}4x^2+px+9=\underset{a^2+2ab+b^2}{\underbrace{{\left(2x\right)}^2+px+3^2}}$  

Stąd otrzymujemy:

$a=2x$  

$b=3$  

Wiemy, że

$px=2ab$  

podstawmy obliczone a i b:

$px=2\cdot 2x\cdot 3$  

$px=12x$  

$p=12$   

$4x^2+12x+9={\left(2x+3\right)}^2$   

$\underline{\underline{}}$    

$\text{b)}p{x}^2-12x+9=\underset{a^2-2ab+b^2}{\underbrace{p{x}^2-12x+3^2}}$  

Stąd otrzymujemy:

$b=3$  

$-12x=-2ab$  

$-12x=-2\cdot a\cdot 3$  

$-12x=-6a$  

$a=\frac{-12x}{-6}$  

$a=2x$  

Wiemy, że:

$p{x}^2=a^2$  

podstawiamy obliczone a do wzoru:

$p{x}^2={\left(2x\right)}^2$  

$p{x}^2=4x^2$  

$p=4$  

$4x^2-12x+9={\left(2x-3\right)}^2$   

$\underline{\underline{}}$  

$\text{c)}64-48x+p{x}^2=\underset{a^2-2ab+b^2}{\underbrace{8^2-48x+p{x}^2}}$   

Stąd otrzymujemy:

$a=8$  

$-48x=-2ab$  

$-48x=-2\cdot 8\cdot b$  

$-48x=-16b$  

$b=3x$  

wiemy, że:

$p{x}^2=b^2$  

Podstawiamy obliczone b do wzoru:

$p{x}^2={\left(3x\right)}^2$  

$p{x}^2=9x^2$  

$p=9$  

$64-48x+9x^2={\left(8-3x\right)}^2$   

$\underline{\underline{}}$  

Korzystamy ze wzorów:

${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$  

${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$  

 

 

$\text{d)}8-36x+54x^2-p{x}^3=\underset{a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3}{\underbrace{2^3-36x+54x^2-p{x}^3}}$    

Stąd otrzymujemy:

$a=2$  

$-36x=-3a^{2}b$  

$-36x=-3\cdot 2^2\cdot b$  

$-36x=-12b$  

$b=3x$  

Wiemy, że:

$-p{x}^3=-b^3$  

Podstawiamy obliczone b:

$-p{x}^3=-{\left(3x\right)}^3$

$-p{x}^3=-27x^3$

$p=27$  

Dla pewności sprawdźmy, czy:

$3a{b}^2\stackrel{?}{=}54x^2$   

$3\cdot 2\cdot {\left(3x\right)}^2=3\cdot 2\cdot 9x^2=54x^2$  

Mamy:

$8-36x+54x^2-27x^3={\left(2-3x\right)}^3$  

$\underline{\underline{}}$  

$\text{e)}p+12x+48x^2+64x^3=\underset{a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3}{\underbrace{p+12x+48x^2+{\left(4x\right)}^3}}$  

Stąd otrzymujemy: 

$b=4x$  

$12x=3a^{2}b$   

Podstawmy obliczone b:

$12x=3\cdot a^2\cdot 4x$  

$12x=12x\cdot a^2$  

$1=a^2$  

$a=1\text{lub}a=-1$   

a=-1 nie może być, ponieważ otrzymlibyśmy wówczas -48x², więc:

$a=1$  

Wiemy, że:

$p=a^3$  

Podstawiamy obliczone a:

$p=1^3$  

$p=1$  

Mamy:

$1+12x+48x^2+64x^3={\left(1+4x\right)}^3$   

$\underline{\underline{}}$  

$\text{f)}125a^3+p{a}^2+15a+1=\underset{x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3}{\underbrace{{\left(5a\right)}^3+p{a}^2+15a+1^3}}$  

Stąd otrzymujemy:

$x=5a$  

$y=1$  

Wiemy, że:

$p{a}^2=3x^{2}y$  

Podstawmy obliczone x i y:

$p{a}^2=3\cdot {\left(5a\right)}^2\cdot 1$  

$p{a}^2=3\cdot 25a^2$  

$p{a}^2=75a^2$  

$p=75$  

Mamy więc:

$125a^3+75a^2+15a+1={\left(5a+1\right)}^3$