$a)x^2+\left(2-k\right)x+k+3=0$  

$\Delta ={\left(2-k\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(k+3\right)=4-4k+k^2-4k-12=k^2-8k-8$  

 

${\Delta }_k={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=64+32=96$  

${\sqrt{\Delta }}_k=\sqrt{96}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{6}=4\sqrt{6}$  

$k_1=\frac{8-4\sqrt{6}}{2}=4-2\sqrt{6}$ $k_1=\frac{8-4\sqrt{6}}{2}=4-2\sqrt{6}$  

$k_2=\frac{8+4\sqrt{6}}{2}=4+2\sqrt{6}$   

 

2 rozwiązania:

$\Delta >0$  

$k^2-8k-8>0$  

$k_1=4-2\sqrt{6}\vee k_2=4+2\sqrt{6}$  

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

$k\in \left(-\infty ,4-2\sqrt{6}\right)\cup \left(4+2\sqrt{6},\infty \right)$  

 

1 rozwiązanie:

$k\in \left\{4-2\sqrt{6},4+2\sqrt{6}\right\}$  

 

Brak rozwiązań:

$k\in \left(4-2\sqrt{6},4+2\sqrt{6}\right)$  

 

$b)\left(1-k\right)x^2-2kx-3k+2=0$  

Równanie kwadratowe dla:

$1-k\ne 0$  

$1\ne k$  

 

Sprawdźmy co się dzieje dla k=1:

$-2x-3+2=0$  

$-2x-1=0$  

Jedno rozwiązanie.

 

 

$\Delta ={\left(-2k\right)}^2-4\cdot \left(1-k\right)\cdot \left(-3k+2\right)=4k^2-4\left(-3k+2+3k^2-2k\right)=4k^2-4\left(3k^2-5k+2\right)=$  

$4k^2-12k^2+20k-8=-8k^2+20k-8$  

 

2 rozwiązania:

$-8k^2+20k-8>0\mid :\left(-4\right)$    

$2k^2-5k+2>0$  

$2k^2-4k-k+2>0$  

$2k\left(k-2\right)-\left(k-2\right)>0$  

$\left(k-2\right)\left(2k-1\right)>0$  

$k_1=2\vee k_2=\frac{1}{2}$  

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

$k\in \left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)\cup \left(2,\infty \right)$  

 

1 rozwiązanie:

$k\in \left\{\frac{1}{2},2\right\}$  

 

brak rozwiązań:

$k\in \left(\frac{1}{2},2\right)\backslash \left\{1\right\}$