$\text{a)}$  

$\text{załoz˙enia:}A,B\subset \Omega ,P\left(B\right)>0$  

$\text{teza:}P\left(A{}^{\prime }\mid B\right)=1-P\left(A\mid B\right)$  

$\text{dowoˊd:}$

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego rozpiszmy lewą stronę równości z tezy:

$P\left(A{}^{\prime }\mid B\right)=\frac{P\left(A{}^{\prime }\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\dots$     

 

Wykonajmy rysunki pomocnicze i zaznaczmy zbiór A' n B. 

 

Zauważmy, że zachodzi równość:

$A\cup \left(A{}^{\prime }\cap B\right)=A\cup B$  

Zachodzi więc równość prawdopodobieństw:

$P\left(A\cup \left(A{}^{\prime }\cap B\right)\right)=P\left(A\cup B\right)$