Wykaż, że jeśli P(A|B)=P(A|B')- Zadanie 25: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

`"założenia:"\ \ \ A,\ BsubOmega,\ \ \ 0

$teza: P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

$dow \overset{o}{ˊ} d:$

Z założenia wiemy, że zachodzi równość:

$P (A ∣ B) = P (A ∣ B^{'})$

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego możemy zapisać:

$\frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{P ( A \cap B ^{'} )}{P ( B ^{'} )}$

Zauważmy, że P(B) oraz P(B') są różne od 0, ponieważ P(B) jest większe od 0 i mniejsze od 1.

Po pomnożeniu stronami przez P(B) otrzymujemy:

$P (A \cap B) = \frac{P ( A \cap B ^{'} ) \cdot P ( B )}{P ( B ^{'} )}$

Po pomnożeniu stronami przez P(B') otrzymujemy:

$P (A \cap B) \cdot P (B^{'}) = P (A \cap B^{'}) \cdot P (B)$

Suma prawdopodobieństwa danego zdarzenia i zdarzenia do niego przeciwnego są równe 1, więc możemy zapisać:

$P (A \cap B) \cdot (1 - P (B)) = P (A \cap B^{'}) \cdot P (B)$

Wykonajmy mnożenie po lewej stronie:

$P (A \cap B) - P (A \cap B) \cdot P (B) = P (A \cap B^{'}) \cdot P (B) ∣ + P (A \cap B) \cdot P (B)$

$P (A \cap B) = P (A \cap B^{'}) \cdot P (B) + P (A \cap B) \cdot P (B)$

Wyciągnijmy po prawej stronie P(B) przed nawias:

$P (A \cap B) = P (B) \cdot (P (A \cap B^{'}) + P (A \cap B))$

Wykonajmy rysunki pomocnicze, na których zaznaczymy iloczyn zbiorów A i B' oraz iloczyn zbiorów A i B:

Zauważmy, że powyższe zbiory są rozłączne, więc suma ich prawdopodobieństw to prawdopodobieństwo sumy (bo iloczyn tych zbiorów jest zbiorem pustym).

Możemy więc zapisać:

$P (A \cap B) = P (B) \cdot (P ((A \cap B^{'}) \cup (A \cap B)))$

Suma zaznaczonych zbiorów to zbiór A:

$P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A)$

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

Otrzymaliśmy żądaną równość.

Agnieszka Nowak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.