$S-\text{wybrany uczenˊ gra na skrzypcach}$  

$G-\text{wybrany uczenˊ gra na gitarze}$  

Wiemy, że w tej szkole każdy uczeń gra na skrzypcach lub na gitarze:

$P\left(S\cup G\right)=1$  

 

Wiemy, że uczniowie grający na skrzypcach stanowią 30% uczniów:

$P\left(S\right)=30\%=0,3$  

 

Wiemy, że uczniowie grający na gitarze stanowią 80% uczniów:

$P\left(G\right)=80\%=0,8$  

---

$\text{a)}$  

$P\left(S\cap G\right)=?$  

 

Skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykazanego w zadaniu 1. rozdziału 1.9. 

$P\left(S\cup G\right)=P\left(S\right)+P\left(G\right)-P\left(S\cap G\right)$  

$1=0,3+0,8-P\left(S\cap G\right)$  

$1=1,1-P\left(S\cap G\right)$  

$P\left(S\cap G\right)=0,1$  

 

Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń gra na obydwu instrumentach wynosi 0,1. 

---

$\text{b)}$  

$P\left(G\mid S\right)=?$  

$P\left(G\mid S\right)=\frac{P\left(G\cap S\right)}{P\left(S\right)}=\frac{P\left(S\cap G\right)}{P\left(S\right)}=\frac{0,1}{0,3}=\frac{1}{3}$  

Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń gra na gitarze, jeśli nie gra na skrzypcach, jest równe 1/3.

---

$\text{c)}$  

$P\left(G\mid S{}^{\prime }\right)=?$  

$P\left(S{}^{\prime }\right)=1-P\left(S\right)=1-0,3=0,7$  

Musimy jeszcze obliczyć prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń G i S' - iloczyn ten polega na tym, że wybrany uczeń gra na gitarze i nie gra na skrzypcach. Wiemy, że 0,8 uczniów gra na gitarze, a 0,1 uczniów gra na gitarze i gra na skrzypcach. Stąd 0,8-0,1=0,7 uczniów gra na gitarze i nie gra na skrzypcach. 

$P\left(G\cap S{}^{\prime }\right)=0,7$  

$P\left(G\mid S{}^{\prime }\right)=\frac{P\left(G\cap S{}^{\prime }\right)}{P\left(S{}^{\prime }\right)}=\frac{0,7}{0,7}=1$  

Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń gra na gitarze, jeśli nie gra na skrzypcach, jest równe 1.

Można było przewidzieć taką odpowiedź - jeśli wiemy, że wybrany uczeń nie gra na skrzypcach, to na pewno musi on grać na gitarze, bo każdy uczeń gra na przynajmniej jednym z tych instrumentów. 

---

$\text{d)}$  

$P\left(S\mid G\right)=?$  

$P\left(S\mid G\right)=\frac{P\left(S\cap G\right)}{P\left(G\right)}=\frac{0,1}{0,8}=\frac{1}{8}$