$\text{a)}$  

Jeśli liczba ma być czterocyfrowa, to na początku nie może stać cyfra 0. 

Tworzymy czterocyfrowe ciągi liczb takie, że:

$X$  -cyfra różna od zera

$O$  -cyfra, która może być zerem i różna od  $X$  

 

Możliwe przypadki:

$1\text{)}XXXO$  

liczba możliwości to wówczas:

$9\cdot 1\cdot 1\cdot 9=81$  

$2\text{)}XXOX$  

liczba możliwości to wówczas:

$9\cdot 1\cdot 9\cdot 1=81$  

$3\text{)}XOXX$  

liczba możliwości to wówczas:

$9\cdot 9\cdot 1\cdot 1=81$  

$4\text{)}XXOO$  

liczba możliwości to wówczas:

$9\cdot 1\cdot 9\cdot 1=81$  

$5\text{)}XOXO$  

liczba możliwości to wówczas:

$9\cdot 9\cdot 1\cdot 1=81$  

$6\text{)}XOOX$  

liczba możliwości to wówczas:

$9\cdot 9\cdot 1\cdot 1=81$  

$7\text{)}XOOO$  

liczba możliwości to wówczas:

$9\cdot 9\cdot 1\cdot 1=81$  

 

Obliczmy ile jest takich liczb:

$81+81+81+81+81+81+81=567$  

---

$\text{b)}$  

Jeśli w liczbie czterocyfrowej mają występować wyłącznie cyfry 5, 7, 9, to jedna cyfra musi występować dwukrotnie.

Wybierzmy 2 z 4 miejsc, na których pojawi się jednakowa cyfra.

Na tych dwóch wybranych miejscach możemy postawić jedną z trzech cyfr - 3 możliwości.

Na jednym z dwóch pozostałych miejsc możemy postawić jedną z dwóch pozostałych cyfr - 2 możliwości.

Na ostatnim pozostałym miejscu musimy postawić ostatnią z cyfr, która została - 1 możliwość.

Ilość liczb czterocyfrowych spełniających warunki zadania wynosi więc:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot 3\cdot 2\cdot 1=\frac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot 6=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \sout{4}}{1\cdot \sout{2}\cdot \sout{2}}\cdot 6=6\cdot 6=36$