$\text{a)}$  

Oznaczmy liczbę uczestników przyjęcia jako n. Każdy z n uczestników podał rękę pozostałym n-1 uczestnikom (każdemu poza sobą).

Zauważmy, że jeśli pan A poda rękę panu B, to będzie to to samo, co gdyby pan B podał rękę panu A, dlatego należy jeszcze podzielić przez 2.

Zgodnie z informacjami podanymi w treści zadania musimy rozwiązać równanie:

$\frac{n\left(n-1\right)}{2}=66\mid \cdot 2$  

$n\left(n-1\right)=132$