Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że F i H to środki krawędzi podstawy, zatem z podobieństwa trójkątów FDH i ACD mamy:

$\frac{\left|FH\right|}{\left|FD\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|AD\right|}$  

$\frac{\left|FH\right|}{\frac{1}{2}a}=\frac{a\sqrt{2}}{a}$  

$\left|FH\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}a$  

Podobnie z podobieństwa trójkątów AED i FGD możemy zauważyć, że:

$\left|GE\right|=\frac{\sqrt{2}}{4}a$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta EBS mamy:

${\left(\frac{1}{2}a\sqrt{2}\right)}^2+H^2=3^2$  

$\frac{2}{4}{a}^2+H^2=9$  

$H^2=9-\frac{1}{2}{a}^2$  

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta GES mamy:

${\left(\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)}^2+9-\frac{1}{2}{a}^2=h^2$  

$\frac{2}{16}{a}^2+9-\frac{1}{2}{a}^2=h^2$  

$\frac{1}{8}{a}^2+9-\frac{4}{8}{a}^2=h^2$  

$9-\frac{3}{8}{a}^2=h^2$  

$h=\sqrt{9-\frac{3}{8}{a}^2}$  

 

Wyznaczmy pole tego przekroju.

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|FH\right|\cdot h$  

$P=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot \sqrt{9-\frac{3}{8}{a}^2}$  

$P=\frac{\sqrt{2}}{4}a\cdot \sqrt{9-\frac{3}{8}{a}^2}$  

$P=\sqrt{\frac{2}{16}{a}^2}\cdot \sqrt{9-\frac{3}{8}{a}^2}$  

$P=\sqrt{\frac{9}{8}{a}^2-\frac{3}{64}{a}^4}$  

Zauważmy, że powyższe pole jest największe, gdy funkcja  $f\left(a\right)=\frac{9}{8}{a}^2-\frac{3}{64}{a}^4$   osiąga największą wartość.

$f\left(a\right)=\frac{9}{8}{a}^2-\frac{3}{64}{a}^4$  

$f{}^{\prime }\left(a\right)=\frac{9}{8}\cdot 2a-\frac{3}{64}\cdot 4a^3$  

$f{}^{\prime }\left(a\right)=\frac{9}{4}a-\frac{3}{16}{a}^3$  

Sprawdźmy kiedy f'(a)=0.

$\frac{9}{4}a-\frac{3}{16}{a}^3=0\mid :a$  

$\frac{9}{4}-\frac{3}{16}{a}^2=0\mid \cdot 16$  

$36-3a^2=0$  

$12-a^2=0$  

$12=a^2$  

$a=\sqrt{12}\vee a=-\sqrt{12}<0\text{sprzecznosˊcˊ}$  

$a=2\sqrt{3}$  

 

Wyznaczmy objętość tego ostrosłupa, gdy  $a=2\sqrt{3}.$  

$P_p=a^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2=12$  

$H^2=9-\frac{1}{2}{a}^2$  

$H^2=9-\frac{1}{2}\cdot 12$  

$H^2=9-6$  

$H^2=3$  

$H=\sqrt{3}$  

Zatem otrzymujemy:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot \sqrt{3}$  

$V=4\sqrt{3}$