$a)$  

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3+2x^2+2x+1}}>0$  

 

Zapiszemy wielomian w w postaci iloczynowej. 

$w\left(x\right)=x^3+2x^2+2x+1=x^3+1+2x^2+2x=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+2x\left(x+1\right)=$   

$=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1+2x\right)=\left(x+1\right)\underset{=1-4<0}{\underset{\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=}{\underbrace{\left(x^2+x+1\right)}}}$  

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Warto zauważyć, że współczynnik przy x² jest dodatni, więc parabola x²+x+1 znajduje się w całości nad osią OX - przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

Możemy więc podzielić nierówność przez (x²+x+1) - nie ma obawy, że dzielimy przez zero. Nie zmieni się także kierunek nierówności, bo wyrażenie x²+x+1 przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

 

$\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)>0\mid :\left(x^2+x+1\right)>0$