Matematyka

Rozwiąż nierówność 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`#underbrace(x^3+2x^2+2x+1)_(w(x))>0` 

 

Zapiszemy wielomian w w postaci iloczynowej. 

`w(x)=x^3+2x^2+2x+1=x^3+1+2x^2+2x=(x+1)(x^2-x+1)+2x(x+1)=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =(x+1)(x^2-x+1+2x)=(x+1)#(#underbrace((x^2+x+1))_(Delta=1^2-4*1*1=))_(=1-4<0)` 

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Warto zauważyć, że współczynnik przy x² jest dodatni, więc parabola x²+x+1 znajduje się w całości nad osią OX - przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

Możemy więc podzielić nierówność przez (x²+x+1) - nie ma obawy, że dzielimy przez zero. Nie zmieni się także kierunek nierówności, bo wyrażenie x²+x+1 przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

 

`(x+1)(x^2+x+1)>0\ \ \ \ \ |:(x^2+x+1)>0` 

`x+1>0\ \ \ |-1` 

`x> -1` 

`ul(ul(x in (-1;\ +infty)))` 

 

 

 

 

`b)` 

`#underbrace(x^3-x^2-10x+12)_(w(x))>=0` 

 

Chcemy zapisać wielomian w w postaci iloczynowej. Wiadomo, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w to 12. Dzielniki 12 to -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Szukamy wśród nich pierwiastków wielomianu w:

`w(2)=2^3-2^2-10*2+12=8-4-20+12=-4` 

`w(3)=3^3-3^2-10*3+12=27-9-30+12=0` 

 

Liczba 3 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian x-3. Wykonajmy dzielenie pisemne.

   

 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-3)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ \ +\ \ 2x\ \ -\ \ 4))_(Delta=2^2-4*1*(-4)=))_(=4+16=20))_(sqrtDelta=sqrt20=sqrt4*sqrt5=2sqrt5))_(x_1=(-2-2sqrt5)/2=-1-sqrt5))_(x_2=(-2+2sqrt5)/2=-1+sqrt5)=(x-3)(x+1+sqrt5)(x+1-sqrt5)`  

 

Szkicujemy wykres wielomianu w, z którego odczytamy zbiór rozwiązań nierówności.

Jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, to rozpoczynamy rysowanie od prawej górnej strony, a jeśli jest ujemny to rozpoczynamy od prawej dolnej strony. Wykres zmienia znak tylko w pierwiastkach krotności nieparzystej. Oznacza to, że w pierwiastku krotności jeden wykres "przechodzi" na drugą stronę osi OX, a w pierwiastku krotności dwa wykres "odbija się" od osi OX.  

 

`ul(ul(x in <<-1-sqrt5;\ -1+sqrt5>>uu<<3;\ +infty)))` 

 

 

 

`c)` 

`#underbrace(x^4+4x^3-4x-1)_(w(x))<=0` 

 

Zapiszemy wielomian w w postaci iloczynowej. 

`w(x)=x^4+4x^3-4x-1=x^4-1+4x^3-4x=(x^2)^2-1^2+4x(x^2-1)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x^2-1)(x^2+1)+4x(x^2-1)=(x^2-1)(x^2+1+4x)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x^2-1)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 4x\ +\ 1))_(Delta=4^2-4*1*1=))_(=16-4=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(-4-2sqrt3)/2=-2-sqrt3))_(x_2=(-4+2sqrt3)/2=-2+sqrt3)=(x-1)(x+1)(x+2+sqrt3)(x+2-sqrt3)` 

 

Podobnie jak poprzednio, szkicujemy wykres wielomianu. 

Oszacujmy:

`-2-sqrt3~~-2-1,73=-3,73` 

`-2+sqrt3~~-2+1,73=-0,27` 

 

 

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-2-sqrt3;\ -1>>uu<<-2+sqrt3;\ 1>>))` 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

Odejmowanie ułamków zwykłych
  1. Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$5/6-2/6= 3/6= {3÷3}/{6÷3}=1/2$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku odejmowania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości.
    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

  2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy odejmowanie.

    Przykład:

    • $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$
       
  3. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= {2•3+1}/3-{1•3+1}/3=7/3-4/3=3/3=1$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= 2 + 1/3- 1 - 1/3= 2 – 1 + 1/3- 1/3= 1 + 0 = 1$$
       
  4. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/2= {2•3+1}/3-{1•2+1}/2=7/3-3/2={7•2}/{3•2}-{3•3}/{2•3}={14}/6-9/6=5/6$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/2- 1 1/3= 2 + 1/2- 1 - 1/3= 2 - 1 + 1/2-1/3= 1 +{1•3}/{2•3}-{1•2}/{3•2}= 1 + 3/6- 2/6= 1 + 1/6= 1 1/6$$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie