Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Drewniana belka ma kształt 4.5 gwiazdek na podstawie 10 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

Długości muszą być wyrażone liczbami dodatnimi, dlatego zacznijmy od wypisania założeń:

`{(3a>0\ \ \ |:3), (a+2>0\ \ \ |-2), (2a+1>0\ \ \ |-1):}\ \ \ =>\ \ \ {(a>0), (a> -2), (2a> -1\ \ \ |:2):}\ \ \ =>\ \ \ {(a>0), (a> -2), (a> -1/2):}\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(a in (0;\ +infty)))` 

 

Zapiszmy wielomian opisujący pole podstawy graniastosłupa:

`P_p(x)=1/2*x*2x=x^2` 

 

Objętość graniastosłupa obliczamy mnożąc pole podstawy razy wysokość. Zapiszmy wielomian opisujący objętość graniastosłupa. 

`V(x)=x^2(2x+2)=2x^3+2x^2`  

 

Objętość graniastosłupa ma być równa 24 (do obliczeń pomijamy jednostki), więc możemy zapisać równanie:

` ` `2x^3+2x^2=24\ \ \ \ |:2`  

`x^3+x^2=12\ \ \ \ |-12` 

`#underbrace(x^3+x^2-12)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -12. Dzielniki -12 to: -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w.       

`w(2)=2^3+2^2-12=8+4-12=0` 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-2)#(#underbrace((x^2+3x+6))_(Delta=3^2-4*1*6=))_(=9-24<0)=0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Jedynym rozwiązaniem równania jest x=2 - ta liczba spełnia założenia. Obliczmy, jakie długości mają wtedy krawędzie graniastosłupa:

`x=2\ [dm]` 

`2x=2*2=4\ [dm]` 

`2x+2=2*2+2=6\ [dm]` 

 

Mamy znaleźć długość najdłuższej krawędzi graniastosłupa. Obliczmy więc, jaką długość ma przeciwprostokątna:

`2^2+4^2=a^2` 

`4+16=a^2` 

`a^2=20` 

`a=sqrt20\ [dm]` 

 

Wiemy, że:

`6=sqrt36` 

 

więc najdłuższa krawędź graniastosłupa ma 6 dm. 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

 

`b)` 

Długości muszą być wyrażone liczbami dodatnimi, dlatego zacznijmy od wypisania założeń:

`{(x>0), (6x+8>0\ \ \ |-8):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>0), (6x> -8\ \ \ |:6):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>0), (x > -4/3):}\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (0;\ +infty)))` 

 

Podstawą graniastosłupa jest trapez o podstawach x, 3x oraz wysokości x. 

Zapiszmy wielomian opisujący pole podstawy graniastosłupa. 

`P_p(x)=(x+3x)/2*x=(4x)/2*x=2x*x=2x^2` 

 

Zapiszmy wielomian opisujący objętość graniastosłupa:

`V(x)=2x^2(6x+8)=12x^3+16x^2` 

 

Objętość ma być równa 28, więc możemy zapisać równanie:

`12x^3+16x^2=28\ \ \ \ |:4` 

`3x^3+4x^2=7\ \ \ |-7` 

`#underbrace(3x^3+4x^2-7)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -7. Dzielniki -7 to: -7, -1, 1, 7. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=3*1^3+4*1^2-7=3+4-7=0` 

 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać rónanie w następującej postaci:

`(x-1)#underbrace((3x^2+7x+7))_(Delta=7^2-4*3*7<0)=0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Jedynym rozwiązaniem równania jest x=1 - ta liczba spełnia założenia. Obliczamy, jaką długość ma najdłuższa krawędź:

`6x+8=6*1+8=14\ [dm]`